- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Cho bốn điểm \[A\left[ {1;6;2} \right],\,B\left[ {4;0;6} \right]\,,\] \[C\left[ {5;0;4} \right]\,,\,D\left[ {5;1;3} \right]\].
LG a
Chứng minh rằng bốn điểm đó không đồng phẳng.
Lời giải chi tiết:
Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left[ {3; - 6;4} \right];\overrightarrow {AC} = \left[ {4; - 6;2} \right];\] \[\overrightarrow {AD} = \left[ {4; - 5;1} \right]\].
\[\eqalign{
& \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] \cr &= \left[ {\left| \matrix{
- 6\,\,\,\,\,4 \hfill \cr
- 6\,\,\,\,\,2 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
4\,\,\,\,\,\,3 \hfill \cr
2\,\,\,\,\,\,4 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
3\,\,\,\, - 6 \hfill \cr
4\,\,\,\, - 6 \hfill \cr} \right|} \right] \cr & = \left[ {12;10;6} \right] \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} \cr & = 12.4 - 5.10 + 6.1 = 4 \ne 0. \cr} \]
Vậy A, B, C, D không đồng phẳng nên ABCD là hình tứ diện.
LG b
Tính thể tích tứ diện ABCD.
Lời giải chi tiết:
Thể tích hình tứ diện ABCD là \[{V_{ABCD}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| \] \[= {4 \over 6} = {2 \over 3}\].
LG c
Viết phương trình mp[BCD].
Lời giải chi tiết:
Ta có \[\overrightarrow {BC} = \left[ {1;0; - 2} \right];\overrightarrow {BD} = \left[ {1;1; - 3} \right]\]
\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] \] \[= \left[ {\left| \matrix{
0\,\,\,\, - 2 \hfill \cr
1\,\,\,\,\, - 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 2\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
- 3\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr
1\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|} \right] \] \[= \left[ {2;1;1} \right].\]
Mp[BCD] qua B[4; 0; 6] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n \]nên có phương trình:
\[2\left[ {x - 4} \right] + 1\left[ {y - 0} \right] + 1\left[ {z - 6} \right] = 0 \] \[\Leftrightarrow 2x + y + z - 14 = 0\].
LG d
Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mp[BCD]. Tìm tọa độ tiếp điểm.
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mp[BCD] có bán kính
\[R = d\left[ {A;\left[ {BCD} \right]} \right] \] \[ = {{\left| {2.1 + 1.6 + 1.2 - 14} \right|} \over {\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = {4 \over {\sqrt 6 }} = {{2\sqrt 6 } \over 3}\].
Phương trình mặt cầu là: \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 6} \right]^2} + {\left[ {z - 2} \right]^2} = {8 \over 3}\].
Gọi H là tiếp điểm thì AH là đường thẳng đi qua A vuông góc với mp[BCD] nên có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow n = \left[ {2;1;1} \right]\].
Vậy AH có phương trình tham số:
\[\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = 6 + t \hfill \cr
z = 2 + t \hfill \cr} \right.\].
Thay x, y, z vào phương trình mp[BCD] ta được:
\[2\left[ {1 + 2t} \right] + 6 + t + 2 + t - 14 = 0\] \[ \Rightarrow t = {2 \over 3}\]. Vậy \[H\left[ {{7 \over 3};{{20} \over 3};{8 \over 3}} \right]\]