Đề bài
Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm đối xứng với H qua I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, CE. Các đường thẳng AM, AN cắt HE tại G và K.
a] Chứng minh rằng tứ giác AHCE là hình chữ nhật.
b] Chứng minh rằng I là trung điểm GK.
c] Góc C bằng bao nhiêu độ để tứ giác AHCE trở thành hình vuông.
Lời giải chi tiết
a] Tứ giác AHCE có:
Hai đường chéo AC và HE cắt nhau tại I [gt];
I là trung điểm của AC [gt];
I là trung điểm của HE [E đối xứng với H qua I]
Do đó tứ giác AHCE là hình bình hành.
Mà \[\widehat {AHC} = {90^0}\] [AH là đường cao của tam giác ABC].
Vậy tứ giác AHCE là hình chữ nhật.
b] Tam giác AHC có hai đường trung tuyến AM và HI cắt nhau tại G.
\[ \Rightarrow G\] là trọng tâm của tam giác AHC \[ \Rightarrow GI = {1 \over 3}HI\]
Tam giác AEC có hai đường trung tuyến AN và EI cắt nhau tại K.
\[ \Rightarrow K\] là trọng tâm của tam giác AEC \[ \Rightarrow IK = {1 \over 3}IE\]
Mà \[IE = HI\] [E đối xứng với H qua I]
\[ \Rightarrow IK = GI \Rightarrow I\] là trung điểm của GK \[\left[ {I \in GK} \right]\]
c] Nếu AHCE là hình vuông thì ta có:
CA là tia phân giác của góc vuông HCE.
\[\widehat {AHC} = {{{{90}^0}} \over 2} = {45^0}\]
Vậy \[\widehat C = {45^0}\] thì tứ giác AHCE trở thành hình vuông.