Đề bài
Chứng minh rằng
\[{1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left[ {n - 1} \right].{n^2} = {{n\left[ {{n^2} - 1} \right]\left[ {3n + 2} \right]} \over {12}}\] [1]
Với mọi số nguyên \[n 2\]
Lời giải chi tiết
+] Với \[n = 2\] ta có:
\[{1.2^2} = {{2\left[ {{2^2} - 1} \right]\left[ {3.2 + 2} \right]} \over {12}} = 4\]
Vậy [1] đúng với \[n = 2\]
+] Giả sử [1] đúng với \[n = k\], tức là ta có :
\[{1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left[ {k - 1} \right]{k^2} = {{k\left[ {{k^2} - 1} \right]\left[ {3k + 2} \right]} \over {12}}\]
+] Ta chứng minh [1] đúng với \[n=k+1\]
Ta có:
\[\eqalign{
& {1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left[ {k - 1} \right].{k^2} + k.{\left[ {k + 1} \right]^2} \cr
& = {{k\left[ {{k^2} - 1} \right]\left[ {3k + 2} \right]} \over {12}} + k{\left[ {k + 1} \right]^2} \cr
&= \frac{{k\left[ {k + 1} \right]\left[ {k - 1} \right]\left[ {3k + 2} \right] + 12k{{\left[ {k + 1} \right]}^2}}}{{12}}\cr&= {{k\left[ {k + 1} \right]\left[ {\left[ {k - 1} \right]\left[ {3k + 2} \right] + 12\left[ {k + 1} \right]} \right]} \over {12}} \cr
&= \frac{{k\left[ {k + 1} \right]\left[ {3{k^2} - 3k + 2k - 2 + 12k + 12} \right]}}{{12}}\cr&= {{k\left[ {k + 1} \right]\left[ {3{k^2} + 11k + 10} \right]} \over {12}} \cr
& = \frac{{k\left[ {k + 1} \right]\left[ {3{k^2} + 6k + 5k + 10} \right]}}{{12}}\cr&= {{k\left[ {k + 1} \right]\left[ { {3k\left[ {k + 2} \right]} + 5\left[ {k + 2} \right]} \right]} \over {12}} \cr
&= \frac{{k\left[ {k + 1} \right]\left[ {k + 2} \right]\left[ {3k + 5} \right]}}{{12}}\cr&= {{\left[ {k + 1} \right]\left[ {{k^2} + 2k} \right]\left[ {3k + 5} \right]} \over {12}} \cr
& = {{\left[ {k + 1} \right]\left[ {{{\left[ {k + 1} \right]}^2} - 1} \right]\left[ {3\left[ {k + 1} \right] + 2} \right]} \over {12}} \cr} \]
Điều đó chứng tỏ [1] đúng với \[n = k + 1\]
Từ các chứng minh trên suy ra [1] đúng với mọi \[n 2\]