Đề bài
Cho hàm số
\[f\left[ x \right] = {1 \over {\left| {\cos x} \right|}}\left[ {x \ne {\pi \over 2} + k\pi ;k \in Z} \right]\]
Chứng minh rằng
\[f'\left[ x \right] = {{\tan x} \over {\left| {\cos x} \right|}}\]
Lời giải chi tiết
Vì \[x \ne {\pi \over 2} + k\pi ,k \in Z\] nên \[\cos x \ne 0.\] Xét hai trường hợp
+ Nếu \[\cos x > 0\] thì
\[f\left[ x \right] = {1 \over {\left| {\cos x} \right|}} = {1 \over {\cos x}}\]
Suy ra
\[f'\left[ x \right] = - {{\left[ { - \sin x} \right]} \over {{{\cos }^2}x}} = {{\sin x} \over {{{\cos }^2}x}} = {1 \over {\cos x}}.\tan x = {{\tan x} \over {\left| {\cos x} \right|}}\,\,\,\left[ 1 \right]\]
Nếu \[\cos x < 0\] thì
\[f\left[ x \right] = {1 \over {\left| {\cos x} \right|}} = -{1 \over {\cos x}}\]
Suy ra
\[f'\left[ x \right] = - {{ - \sin x} \over {{{\cos }^2}x}} = {1 \over {\cos x}}.\tan x = {{\tan x} \over {\left| {\cos x} \right|}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 2 \right]\]
Từ [1] và [2] suy ra \[f'\left[ x \right] = {{\tan x} \over {\left| {\cos x} \right|}}\,\left[ {x \ne {\pi \over 2} + k\pi ,k \in Z} \right].\]