Đề bài
Chọn phương án đúng
Câu 1. Điểm dối xứng với điểm \[M\left[ {1;2} \right]\] qua đường thẳng \[d:2x + y - 5 = 0\] là
A.\[M'\left[ { - 2;6} \right]\]
B.\[M'\left[ {{9 \over 5};{{12} \over 5}} \right]\]
C.\[M'\left[ {0;{3 \over 2}} \right]\]
D.\[M'\left[ {3; - 5} \right]\]
Câu 2. Đường thẳng \[\Delta \] song song với đường thẳng \[d:3x - 4y + 12 = 0\] và cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A,B sao có AB= 5 có phương trình là
A.\[3x - 4y - 6 = 0\]
B.\[4x + 3y - 12 = 0\]
C.\[3x - 4y - 6 = 0\]
D.\[6x - 8y + 15 = 0\]
Câu 3. Cho hình vuông có đỉnh \[A\left[ { - 4;5} \right]\] và đường chéo có phương trình \[7x - y + 8 = 0\] . Diện tích hình vuông là
A.\[S = 25\]
B.\[S = \dfrac{25}{ 2}\]
C.\[S = 50\]
D.\[S = 5\]
Câu 4. Đường thẳng qua điểm \[M\left[ { - 2;0} \right]\] và tạo với đường thẳng \[d:x + 3y - 3 = 0\] góc \[45^\circ \] có phương trình là
A.\[2x + y + 4 = 0\]
B.\[x - 2y + 2 = 0\]
C.\[2x + y + 4 = 0\] và \[x - 2y + 2 = 0\]
D.\[2x + y + 2 = 0\] và \[x - 2y + 4 = 0\]
Câu 5. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi trục hoành và đường thẳng \[d:4x - 3y + 10 = 0\] là
A.\[4x + 3y + 10 = 0\] và \[4x - y + 10 = 0\]
B.\[x + 3y - 10 = 0\] và \[9x + 3y - 10 = 0\]
C.\[4x + 3y + 10 = 0\] và \[4x - y - 10 = 0\]
D.\[2x - 4y + 5 = 0\] và \[2x + y + 5 = 0\]
Câu 6. Cho các điểm \[A\left[ {2,0} \right],B\left[ {4;1} \right],C\left[ {1;2} \right]\] . Phương trình đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC là
A.\[x + 3y - 2 = 0\]
B.\[3x + y - 2 = 0\]
C.\[3x - y - 6 = 0\]
D.\[x - 3y - 6 = 0\]
Câu 7. Cho tam giác ABC cân tại A có phương trình cạnh AB, BC lần lượt là \[x + 2y - 1 = 0\] và \[3x - y + 5 = 0\] và cạnh AC qua điểm \[I\left[ {1; - 3} \right]\] . Khi đó phương trình cạnh AC là
A.\[x + 2y + 5 = 0\]
B.\[2x + 11y + 31 = 0\]
C. \[x + 2y + 5 = 0\] và \[2x + 11y + 31 = 0\]
D.các kết quả đều sai
Câu 8. Phương trình đường thẳng đi qua giao diểm của hai đường thẳng
\[\Delta :3x - 2y + 1 = 0\] ; \[\Delta ':x + 3y - 2 = 0\] và vuông góc với đường thẳng
\[d:2x + y - 1 = 0\] là \[ax + by + 13 = 0\] . Khi đó \[a + b\] bằng
A. \[-12\]
B. \[-11\]
C. \[-10\]
D. \[-9\]
Câu 9. Cho hình vuông ABCD với \[AB:2x + 3y - 3 = 0,\]\[\,CD:2x + 3y + 10 = 0\] . Diện tích hình vuông là
A. \[11\]
B. \[12\]
C. \[13\]
D. \[14\]
Câu 10. Cho \[{d_1}:x + 2y + m = 0\] và \[{d_2}:mx + \left[ {m + 1} \right]y + 1 = 0\]. Có hai giá trị của m để \[{d_1}\] và \[{d_2}\] hợp với nhau góc \[45^\circ \] . Tích của chúng là
A.\[ - \dfrac{7 }{ 4}\]
B.\[ - \dfrac{3 }{8}\]
C.\[\dfrac{7 }{4}\]
D.\[\dfrac{3 }{ 8}\]
Lời giải chi tiết
Câu 1.B
Đường thẳng \[\Delta \] qua M và vuông góc với d có phương trình
\[1\left[ {x - 1} \right] - 2\left[ {y - 2} \right] = 0\]
\[\Leftrightarrow x - 2y + 3 = 0\]
Giao điểm H của d và \[\Delta \] có tọa độ là nghiệm của hệ
\[\left\{ \matrix{ 2x + y - 5 = 0 \hfill \cr x - 2y + 3 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {7 \over 5} \hfill \cr y = {{11} \over 5} \hfill \cr} \right.\]
H là trung điểm của \[MM'\] nên:
\[\left\{ \matrix{ {x_M} + {x_{M'}} = 2{x_H} \hfill \cr {y_M} + {y_{M'}} = 2{y_H} \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = {9 \over 5} \hfill \cr {y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = {{12} \over 5} \hfill \cr} \right.\].
Vậy \[M' = \left[ {{9 \over 5};{{12} \over 5}} \right]\].
Câu 2.A
Phương trình đường \[\Delta \] có dạng \[3x - 4y + c = 0\] .
\[\Delta \] cắt Ox tại \[A\left[ { - {c \over 3};0} \right]\] và cắt Oy tại \[B\left[ {0;{c \over 4}} \right]\].
Theo giả thiết
\[AB = 5 \Leftrightarrow \sqrt {{{{c^2}} \over 9} + {{{c^2}} \over {16}}} = 5 \Leftrightarrow c = \pm 12.\]
Chọn \[c = - 12;\Delta \] có phương trình \[3x - 4y - 12 = 0\] .
Câu 3.A
Ta có: \[AH = d\left[ {A,\Delta } \right] \]\[\,= \dfrac{{\left| { - 28 - 5 + 28} \right|}}{{\sqrt {49 + 1} }} = \dfrac{5}{{\sqrt 2 }}.\]
Cạnh hình vuông \[a = AH\sqrt 2 = 5\].
Diện tích hình vuông \[S = {a^2} = 25\].
Câu 4.C
Phương trình đường thẳng \[\Delta \] qua M có dạng
\[A\left[ {x + 2} \right] + B\left[ {y - 0} \right] = 0\]
\[\Leftrightarrow Ax + By + 2A = 0{\rm{ }}\left[ {{A^2} + {B^2} \ne 0} \right]\].
Theo giả thiết
\[\eqalign{ & \cos \left[ {d,\Delta } \right] = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr & \Leftrightarrow {{\left| {A + 3B} \right|} \over {\sqrt {10} .\sqrt {{A^2} + {B^2}} }} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr & \Leftrightarrow \left| {A + 3B} \right| = \sqrt 5 .\sqrt {{A^2} + {B^2}} \cr & \Leftrightarrow {A^2} + 6AB + 9{{\bf{B}}^2} = 5\left[ {{A^2} + {B^2}} \right] \cr & \Leftrightarrow 2{A^2} - 3AB - 2{B^2} = 0 \cr} \]
Chọn \[B = 1\] ta có phương trình \[2{A^2} - 3A - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ A = 2 \hfill \cr A = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\].
Vậy có hai đường thẳng\[2x + y + 4 = 0\] và \[ - \dfrac{1 }{ 2}x + y - 1 = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2 = 0\].
Câu 5.D
Phương trình các đường phân giác cần tìm
\[\dfrac{\left| {4x - 3y + 10} \right| }{ 5} = \left| y \right| \]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{ 4x - 3y + 10 = 5y \hfill \cr 4x - 3y + 10 = - 5y \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{ 2x - 4y + 5 = 0 \hfill \cr 2x + y + 5 = 0 \hfill \cr} \right.\]
Câu 6.C
Ta có \[AB = \sqrt 5 ,AC = \sqrt 5 .\]
Suy ra tam giác ABC cân tại A. Do đó đường phân giác trong của góc A cũng là đường trung tuyến.
Trung điểm BC là \[M\left[ {{5 \over 2};{3 \over 2}} \right]\].
Phương trình đường thẳng AM
\[\dfrac{{x - 2}}{{\dfrac{5}{2} - 2}} = \dfrac{y}{{\dfrac{3}{2}}}\]
\[\Leftrightarrow 3x - 6 = y \Leftrightarrow 3x - y - 6 = 0\].
Câu 7.B
Phương trình cạnh AC có dạng
\[a\left[ {x - 1} \right] + b\left[ {y + 3} \right] = 0\]
\[\Leftrightarrow ax + by - a + 3b = 0.\]
Theo giả thiết
\[\eqalign{ & \cos B = \cos C \cr&\Leftrightarrow {{\left| {3 - 2} \right|} \over {\sqrt 5 .\sqrt {10} }} = {{\left| {3a - b} \right|} \over {\sqrt {10} .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \cr & \Leftrightarrow \sqrt 5 .\left| {3a - b} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr} \]
\[\eqalign{ & \Leftrightarrow 5\left[ {9{a^2} - 6ab + {b^2}} \right] = {a^2} + {b^2} \cr & \Leftrightarrow 22{a^2} - 15ab + 2{b^2} = 0 \cr} \]
Chọn \[b = 1\] ta có phương trình
\[22{a^2} - 15a + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ a = {1 \over 2} \hfill \cr a = {2 \over {11}} \hfill \cr} \right.\]
Với \[a = {1 \over 2},b = 1\] ta có đường thẳng \[{1 \over 2}x + y + {5 \over 2} = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 5 = 0\] [loại vì song song với AB].
Với \[a = {2 \over {11}},b = 1\] ta có đường thẳng \[{2 \over {11}}x + y + {{31} \over {11}} = 0 \]
\[\Leftrightarrow 2x + 11y + 31 = 0\].
Câu 8.B
Giao điểm của \[\Delta \] và \[\Delta '\] có tọa độ thỏa mãn hệ
\[\left\{ \matrix{ 3x - 2y + 1 = 0 \hfill \cr x + 3y - 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = \dfrac{1 } {11} \hfill \cr y = \dfrac{7}{11} \hfill \cr} \right.\]
Phương trình đường thẳng cần tìm
\[\eqalign{ & 1\left[ {x - {1 \over {11}}} \right] - 2\left[ {y - {7 \over {11}}} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow x - 2y + {{13} \over {11}} = 0 \cr & \Leftrightarrow 11x - 22y + 13 = 0. \cr} \]
Vậy \[a + b = - 11\].
Câu 9.C
Cạnh hình vuông \[a = d\left[ {AB,CD} \right] = d\left[ {M,CD} \right] \]\[\,=\dfrac{{\left| {0 + 3 + 10} \right|}}{{\sqrt {4 + 9} }} = \sqrt {13} .\]
Diện tích hình vuông là \[S = {a^2} = 13\].
Câu 10.D
Theo giả thiết
\[\eqalign{ & {{\left| {m + 2\left[ {m + 1} \right]} \right|} \over {\sqrt {1 + 4} .\sqrt {{m^2} + {{\left[ {m + 1} \right]}^2}} }} = {1 \over {\sqrt 2 }} \cr & \Leftrightarrow \sqrt 2 \left| {3m + 2} \right| = \sqrt 5 .\sqrt {2{m^2} + 2m + 1} \cr & \Leftrightarrow 2\left[ {9{m^2} + 12m + 4} \right] = 5\left[ {2{m^2} + 2m + 1} \right] \cr & \Leftrightarrow 8{m^2} + 14m + 3 = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{ m = - \dfrac{1 }{ 4} \hfill \cr m = - \dfrac{3 }{ 2} \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy \[{m_1}{m_2} = \dfrac{3 }{ 8}\].