Đề bài
Câu 1. Giải bất phương trình \[\dfrac{1}{x} + \dfrac{x}{{x + 1}} < 1\] .
Câu 2. Giải và biện luậnbất phương trình \[x + 4{m^2} \le 2mx + 1\] theo\[m\] .
Lời giải chi tiết
Câu 1.
Ta có: \[\dfrac{1}{x} + \dfrac{x}{{x + 1}} < 1\]
\[\Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{x}{{x + 1}} - 1 < 0\]
\[ \Leftrightarrow \dfrac{{\left[ {x + 1} \right] + {x^2} - x\left[ {x + 1} \right]}}{{x\left[ {x + 1} \right]}} < 0\]
\[ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x\left[ {x + 1} \right]}} < 0\]
Bảng xét dấu
Bất phương trình có tập nghiệm \[S = \left[ { - 1;0} \right]\] .
Câu 2. Ta có
\[x + 4{m^2} \le 2mx + 1\]
\[\Leftrightarrow 2mx - x \ge 4{m^2} - 1\]
\[ \Leftrightarrow \left[ {2m - 1} \right]x \ge \left[ {2m - 1} \right]\left[ {2m + 1} \right]\]
Xét các trường hợp
+] \[2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\] : Bất phương trình trở thành \[0x \ge 0\] . Bất phương trình nghiệm đúng với mọi \[x \in \mathbb{R}\] .
+] \[2m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{2}\] : Bất phương trình có nghiệm \[x \ge 2m + 1\].
+] \[2m - 1 < 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{2}\] : Bất phương trình có nghiệm \[x \le 2m + 1\].
Kết luận:
\[m = \dfrac{1}{2}:S = \mathbb{R}\] .
\[m > \dfrac{1}{2}:S = \left[ {2m + 1; + \infty } \right]\] .
\[m < \dfrac{1}{2}:S = \left[ { - \infty; 2m + 1} \right]\] .