Đề bài
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM [6 điểm]
Câu 1:Cho số phức z = 3 2i. Tìm điểm biểu diễn của số phức \[{\rm{w}} = z + i.\overline z \]
A. M[5;-5]. B. M[1;-5].
C. M[1;1]. D. M[5;1].
Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số f[x] = cos3x là:
A.\[ - \dfrac{1}{3}\sin 3x + C.\]B.\[\dfrac{1}{3}\sin 3x + C.\]
C.\[3\sin 3x + C.\] D.\[ - 3\sin 3x + C.\]
Câu 3: Biết \[\int\limits_0^2 {{e^{3x}}} dx = \dfrac{{{e^a} - 1}}{b}.\] Tìm khẳng địng đúng trong các khẳng định sau?
A. a + b = 10. B. a = b.
C. a = 2b. D. a < b.
Câu 4: Công thức nguyên hàm nào sau đây không đúng?
A.\[\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} = {\mathop{\rm t}\nolimits} + C.\]
B.\[\int {{a^x}dx} = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C[0 < a \ne 1].\]
C.\[\int {{x^\alpha }} = \dfrac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C[\alpha \ne - 1].\]
D.\[\int {\dfrac{1}{x}} = \ln x + C.\]
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \[d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 5}}{4}\] và mặt phẳng [P]; x 3y + 2z 5 = 0. Mệnh đề nào sau đây không đúng?
A. d cắt và không vuông góc với [P].
B.d vuông góc với [P].
C. d song song với [P].
D. d nằm trong [P].
Câu 6: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A[1;4;7] và vuông góc với mặt phẳng [P]: x + 3y - 2z 3 = 0 là:
A.\[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 4 + 4t\\z = 7 - 4t\end{array} \right.\]
B.\[\left\{ \begin{array}{l}x = - 4 + t\\y = 3 + 2t\\z = - 1 - 2t\end{array} \right.\]
C.\[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 4 + 3t\\z = 7 + t\end{array} \right.\]
D.\[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 4t\\z = - 2 + 7t\end{array} \right.\]
Câu 7: Cho A[1;2;3], mặt phẳng [P]: x + y + z 2 = 0. Phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng [P] biết [Q] cách điểm A một khoảng bằng \[3\sqrt 3 \] là:
A.x + y + z + 3 = 0 và x + y + z 3 = 0.
B. x + y + z + 3 = 0 và x + y + z + 15 = 0.
C. x + y + z + 3 = 0 và x + y + z 15 = 0.
D. x + y + z + 3 = 0 và x + y z 15 = 0.
Câu 8: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z.
A. Phần thực là 4 và phần ảo là 3.
B. Phần thực là 3 và phần ảo là 4i.
C. Phần thực là 3 và phần ảo là 4.
D. Phần thực là 4 và phần ảo là 3i.
Câu 9: Biết \[\int\limits_a^b {f[x]dx = 10} ,F[x]\] là một nguyên hàm của f[x] và F[a] = - 3. Tính F[b].
A. F[b] = 13. B. F[b] = 10.
C. F[b] = 16. D. F[b] = 7.
Câu 10: Tìm số phức liên hợp của số phức z = i[3i+1].
A.\[\overline z = 3 - i.\] B.\[\overline z = - 3 - i.\]
C.\[\overline z = - 3 + i.\]D.\[\overline z = 3 + i.\]
Câu 11: Biết F[x] là một nguyên hàm của hàm số \[f[x] = \dfrac{4}{{1 + 2x}}\] và F[0] = 2. Tìm F[2].
A. 4ln5 + 2. B. 5 [1 + ln2].
C. 2 ln5 + 4. D. 2 [1+ln5].
Câu 12: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \[y = {x^2},\] trục hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 3 là:
A. \[\dfrac{1}{3}.\] B.\[\dfrac{{28}}{3}.\]
C.\[\dfrac{8}{3}.\] D.\[\dfrac{{28}}{9}.\]
Câu 13: Gọi \[{z_1}\] và \[{z_2}\] lần lượt là nghiệm của phương trình: \[{z^2} - 2z + 5 = 0.\] Tính \[P = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|.\]
A.\[2\sqrt 5 .\] B. 10.
C. 3.D. 6.
Câu 14: Tính mô đun của số phức z thỏa mãn: z[2 i] + 13i = 1.
A.\[\left| z \right| = \dfrac{{\sqrt {34} }}{3}.\] B.\[\left| z \right| = \dfrac{{5\sqrt {34} }}{2}.\]
C.\[\left| z \right| = 34.\] D.\[\left| z \right| = \sqrt {34} .\]
Câu 15: Tích phân \[I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{2dx}}{{3 - 2x}}} = \ln a.\] Giá trị của a bằng:
A. 3. B. 2.
C. 4. D.1.
Câu 16: Biết \[\int\limits_0^3 {f[x]dx = 12} .\] Tính \[I = \int\limits_0^1 {f[x]dx} .\]
A. 4. B. 6.
C. 36. D. 3.
Câu 17: F[x] là nguyên hàm của hàm số \[f[x] = \dfrac{{3x + 4}}{{{x^2}}},[x \ne 0],\] biết rằng F[1] = 1. F[x] là biểu thức nào sau đây:
A.\[F[x] = 2x + \dfrac{4}{x} - 5.\]
B.\[F[x] = 3\ln \left| x \right| + \dfrac{4}{x} + 5.\]
C.\[F[x] = 3x - \dfrac{4}{x} + 3.\]
D.\[F[x] = 3\ln \left| x \right| - \dfrac{4}{x} + 3.\]
Câu 18: Trong hệ tọa Oxyz, cho hai điểm A[3;-2;-1], B[4;-1;2]. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là:
A.\[2x + 2y + 3z + 1 = 0. \]
B.\[4x 4y 6z + \dfrac{{15}}{2}= 0.\]
B.\[4x + 4y + 6z 7 = 0. \]
D.\[x + y z = 0.\]
Câu 19: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 3t\\z = - 3 + 5t\end{array} \right.[t \in \mathbb{R}].\] Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của d?
A.\[\overrightarrow u = [2;0; - 3].\]
B.\[\overrightarrow u = [2; - 3;5].\]
C.\[\overrightarrow u = [2;3; - 5].\]
D.\[\overrightarrow u = [2;0;5].\]
Câu 20: Cho đồ thị hàm số y = f[x], diện tích hình phẳng [phần tô đậm trong hình] là:
A.\[S = \int\limits_{ - 3}^4 {f[x]dx.} \]
B.\[S = \int\limits_0^{ - 3} {f[x]dx + \int\limits_0^4 {f[x]dx} .} \]
C.\[S = \int\limits_{ - 3}^1 {f[x]dx + \int\limits_1^4 {f[x]dx} .} \]
D.\[S = \int\limits_{ - 3}^0 {f[x]dx - \int\limits_0^4 {f[x]dx} .} \]
Câu 21: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A[-2;0;0], B[0;3;0] và C[0;0;2]. Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng [ABC]?
A.\[\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{{ - 2}} = 1.\]
B.\[\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{{ - 2}} + \dfrac{z}{3} = 1.\]
C.\[\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{{ - 2}} = 1.\]
D.\[\dfrac{x}{{ - 2}} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{2} = 1.\]
Câu 22: Phương trình nào sau đây là chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A[1;2;-3] và B[3;-1;1]?
A.\[\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 3}}{1}.\]
B.\[\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 3}}.\]
C.\[\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{z + 3}}{4}.\]
D.\[\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 3}}{4}.\]
Câu 23: Tìm số phức z biết \[z = \dfrac{{3 + 4i}}{{{i^{2019}}}}.\]
A. z = 4 3i. B. z = 4 + 3i.
C. z = 3 4i. D. z = 3 + 4i.
Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng [P]: x 2z + 3 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của [P]?
A.\[\overrightarrow n = [1; - 2;0].\]
B. \[\overrightarrow n = [1;0; - 2].\]
C. \[\overrightarrow n = [3; - 2;1].\]
D. \[\overrightarrow n = [1; - 2;3].\]
PHẦN II. TỰ LUẬN [4 điểm]
Câu 1: [1.0 điểm]. Tính các tích phân sau:
a] \[I = \int\limits_0^{\sqrt 7 } {x\sqrt[3]{{1 + {x^2}}}} dx;\]
\[b]I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {[3 - 2x]cos2xdx} .\]
Câu 2: [1.0 điểm].
a] Giải phương trình [1 + i]z + [4 7i] = 8 4i.
b] Tìm số phức z thỏa mãn: \[[3 + i]\overline z + [1 + 2i]z = 3 - 4i.\]
Câu 3: [2.0 điểm].
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M[2;1;1] và mặt phẳng [P]: 2x y + 2z + 4 = 0.
a] Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng [P].
b] Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng [P].
c] Viết phương trình mặt cầu [S] tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng [P].
Lời giải chi tiết
1C |
2B |
3C |
4D |
5A |
6A |
7C |
8C |
9D |
10B |
11D |
12B |
13A |
14D |
15A |
16A |
17B |
18C |
19B |
20D |
21D |
22C |
23A |
24B |
PHẦN II. TỰ LUẬN [4 điểm]
Câu 1: [1.0 điểm]
Tính các tích phân sau:a] \[I = \int\limits_0^{\sqrt 7 } {x\sqrt[3]{{1 + {x^2}}}} dx;\]\[b]I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {[3 - 2x]cos2xdx} .\]
a] Đặt: \[t = \sqrt[3]{{1 + {x^2}}} \Rightarrow {t^3} = 1 + {x^2}\]
\[\Rightarrow 3{t^2}dt = 2xdx \Rightarrow xdx = \dfrac{3}{2}{t^2}dt\]
Đổi cận: \[x = 0 \Rightarrow t = 1;x = \sqrt 7 \Rightarrow t = 2 \]
\[\Rightarrow I = \int\limits_1^2 {\dfrac{3}{2}} {t^3}dt\]\[\, = \left. {\dfrac{3}{8}} \right|_1^2 = \dfrac{3}{8}[16 - 1] = \dfrac{{45}}{8}.\]
b] Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = 3 - 2x \Rightarrow du = - 2dx\\dv = \cos 2x \Rightarrow v = \dfrac{{\sin 2x}}{2}\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l} I = [3 - 2x]\left. {\dfrac{{\sin 2x}}{2}} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\sin 2xdx} \\\;\;\;\;\;\; = \left[ {\dfrac{{6 - \pi }}{4}} \right] - \dfrac{1}{2}[0 - 1]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{8 - \pi }}{4} = 2 - \dfrac{\pi }{4}.\end{array}\]
Câu 2: [1.0 điểm]
a] Giải phương trình \[[1 + i]z + [4 7i] = 8 4i.\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}[1 + i]z + [4 - 7i] = 8 - 4i\\ \Leftrightarrow [1 + i]z = 4 + 3i\\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{4 + 3i}}{{1 + i}} = \dfrac{{[4 + 3i][1 - i]}}{{[1 + i][1 - i]}} \\= \dfrac{{4 - 4i + 3i - 3{i^2}}}{2} = \dfrac{7}{2} - \dfrac{1}{2}i\end{array}\]
b] Tìm số phức z thỏa mãn: \[[3 + i]\overline z + [1 + 2i]z = 3 - 4i.\]
Gọi \[z = a + bi\] \[[a,b \in \mathbb{R},{i^2} = - 1] \Rightarrow \overline z = a - bi\]
\[\begin{array}{l}[3 + i]\overline z + [1 + 2i]z = 3 - 4i\\ \Leftrightarrow [3 + i][a - bi] + [1 + 2i][a + bi] \\= 3 - 4i\\ \Leftrightarrow 4a - b + [3a - 2b]i = 3 - 4i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a - b = 3\\3a - 2b = - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 5\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy \[z = 2 + 5i.\]
Câu 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M[2;1;1] và mặt phẳng [P]: \[2x y + 2z + 4 = 0.\]
a] Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng [P].
Đường thẳng [d] đi qua điểm M[2;1;1], vuông góc với [P] có VTCP: \[\overrightarrow u = [2; - 1;2]\]
Có PTTS: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 1 - t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.[t \in \mathbb{R}]\]
b] Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng [P].
Tọa độ hình chiếu H của M lên mặt phẳng [P] là nghiệm của hệ:
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 2z + 4 = 0\\x = 2 + 2t\\y = 1 - t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\x = 0\\y = 2\\z = - 1\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy \[H[0;2;-1]\]
c] Viết phương trình mặt cầu [S] tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng [P].
Ta có: \[d[M;[P]] = \dfrac{{\left| {4 - 1 + 2 + 4} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = 3\]
Mặt cầu [S] tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng [P] có bán kính R = d[M;[P]]=2 có phương trình: \[{[x - 2]^2} + {[y - 1]^2} + {[z - 1]^2} = 9\]