Đề bài
Xác định giá trị của tham số \[m\] để hàm số\[y=\dfrac{x^{2}+mx+1}{x+m}\]đạt cực đại tại \[x = 2\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Vận dụng kiến thức:
\[{x_0}\] là điểm cực đại của hàm số \[y = f\left[ x \right]\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left[ {{x_0}} \right] = 0\\f''\left[ {{x_0}} \right] < 0\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết
Tập xác định: \[D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -m \right \};\]
Ta có: \[y = x + \dfrac{1}{{x + m}}\] \[ \Rightarrow y' = 1 - \dfrac{1}{{{{\left[ {x + m} \right]}^2}}}\] \[ \Rightarrow y'' = \dfrac{{2\left[ {x + m} \right]}}{{{{\left[ {x + m} \right]}^4}}} = \dfrac{2}{{{{\left[ {x + m} \right]}^3}}}\].
Hàm số đạt cực đại tại \[x = 2\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left[ 2 \right] = 0\\y''\left[ 2 \right] < 0\end{array} \right.\]
+] \[y''\left[ 2 \right] < 0 \Leftrightarrow \dfrac{2}{{{{\left[ {2 + m} \right]}^3}}} < 0\] \[ \Leftrightarrow {\left[ {2 + m} \right]^3} < 0 \Leftrightarrow 2 + m < 0\] \[ \Leftrightarrow m < - 2\]
+] \[y'\left[ 2 \right] = 0 \Leftrightarrow 1 - \dfrac{1}{{{{\left[ {2 + m} \right]}^2}}} = 0\] \[ \Leftrightarrow {\left[ {2 + m} \right]^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\left[ L \right]\\m = - 3\left[ {TM} \right]\end{array} \right.\]
Vậy \[m = - 3\].