Đề bài
Cho hình bình hành \[ABCD\]. Gọi \[E\] là điểm đối xứng với \[D\] qua điểm \[A\], gọi \[F\] là điểm đối xứng với \[D\] qua điểm \[C\]. Chứng minh rằng điểm \[E\] đối xứng với điểm \[F\] qua điểm \[B\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng:
+] Hình bình hành có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
+]Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm \[O\] nếu \[O\] là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
+] Tiên đề ơclit: Qua một điểm ở ngoài đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
Lời giải chi tiết
Vì \[ABCD \] là hình bình hành [giả thiết]
\[ \Rightarrow A{\rm{D}}//BC, A{\rm{B}}//DC,\]\[ A{\rm{D}}=BC,A{\rm{B}}=DC \] [tính chất hình bình hành]
Mà \[E \in A{\rm{D}}\][giả thiết] \[ \RightarrowAE//BC\]
Vì \[E\] là điểm đối xứng với \[D\] qua điểm \[A\][giả thiết]
\[ \Rightarrow AE = A{\rm{D}}\] [tính chất hai điểm đối xứng qua 1 điểm]
\[ \Rightarrow \] \[AE = BC\] [cùng bằng \[AD\]]
Kết hợp với \[AE//BC\] [chứng minh trên]
\[ \Rightarrow \] Tứ giác\[ACBE\] là hình bình hành [dấu hiệu nhận biết hình bình hành].
\[ \Rightarrow \]\[BE // AC, BE = AC\] [1] [tính chất hình bình hành]
Ta có: \[AB//DC\] [chứng minh trên] \[\Rightarrow AB//CF\]
Vì \[F\] là điểm đối xứng với \[D\] qua điểm \[C\][giả thiết]
\[ \Rightarrow CD = CF\][tính chất hai điểm đối xứng qua 1 điểm]
\[ \Rightarrow AB = CF\] [cùng bằng \[DC\]]
Kết hợp với \[AB//CF\] [chứng minh trên]
\[ \Rightarrow \] Tứ giác\[ACFB\] là hình bình hành [dấu hiệu nhận biết hình bình hành].
\[ \Rightarrow \]\[BF // AC, BF = AC\] [2] [tính chất hình bình hành]
Từ [1] và [2] suy ra \[BE\] và \[BF\] cùng song song với \[AC\] và cùng đi qua điểm \[B\] nên theo tiên đề Ơclit \[BE\] trùng \[BF\] hay \[B, E, F\] thẳng hàng.
Lại có:\[BE\] = \[BF\] [cùng bằng \[AC\]] do đó \[B\] là trung điểm của \[EF\]
Vậy \[E\] đối xứng với \[F\] qua \[B\].