Đề bài
Cho tứ giác ABCD có AB = BC và CA là tia phân giác của góc BCD. Đường thẳng vuông góc với AC tại A cắt đường thẳng CD ở E. Gọi M là trung điểm của AC.
a] Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thang.
b] Chứng minh rằng tứ giác ABME là hình thang.
Lời giải chi tiết
a] Ta có: \[AB = BC\,\,\left[ {gt} \right] \Rightarrow \Delta ABC\] cân tại B \[ \Rightarrow \widehat {BCA} = \widehat {BAC}\]
Mà \[\widehat {BCA} = \widehat {ACD}\] [CA là phân giác của \[\widehat {DCB}\]]
Nên \[\widehat {BAC} = \widehat {ACD}\]
Lại có \[\widehat {BAC}\]và \[\widehat {ACD}\]là hai góc so le trong.
Do đó AB // CD
Vậy tứ giác ABCD là hình thang.
b] ABCcân tại B có BM là đường trung tuyến [M là trung điểm của AC]
=> BM cũng là đường cao củaABC \[\Rightarrow BM \bot AC\]
Mà \[AE \bot AC[gt]\]nên BM // AC
Vậy tứ giác ABME là hình thang.