Đề bài
Cho hình bình hành ABCD có M là trung điểm của AD và E là một điểm tuỳ ý trên đoạn CD. Đường thẳng EM căt AB tại F. Hãy so sánh diện tích cùa hình bình hành ABCD và tứ giác ECBF.
Lời giải chi tiết
Xét \[\Delta AMF\] và \[\Delta MED\] có:
\[MA = MD\] [M là trung điểm của AD]
\[\widehat {AMF} = \widehat {DME}\] [hai góc đối đỉnh]
\[\widehat {FAM} = \widehat {MDE}\] [hai góc so le trong và \[AF // DE\]]
Do đó \[\Delta AMF = \Delta DME\,\left[ {g.c.g} \right]\]
Tứ giác ECBF có:
EC // BF [DC // AB, \[E \in CD,\,\,F \in BA\]] \[ \Rightarrow \] Tứ giác ECBF là hình thang
Kẻ \[CH \bot AB\] tại H
\[{S_{ECBF}} = {1 \over 2}CH\left[ {EC + BF} \right] = {1 \over 2}CH\left[ {EC + AF + AB} \right]\],
Mà \[AF = DE\,\,\left[ {\Delta AMF = \Delta DME} \right]\]
Và \[AB = CD\] [ABCD là hình bình hành]
Nên \[{S_{ECBF}} = {1 \over 2}CH\left[ {EC + DE + CD} \right] = {1 \over 2}CH\left[ {CD + CD} \right] = {1 \over 2}CH.2CD = CH.CD = {S_{ABCD}}\]