I. ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số $y = f\left[ x \right]$ xác định trên D.
a] Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y = f\left[ x \right]$ trên tập D nếu $f\left[ x \right] \le M$ với mọi x thuộc D và tồn tại ${x_0} \in D$ sao cho $f\left[ {{x_0}} \right] = M$.
Kí hiệu $M = \mathop {\max }\limits_D f\left[ x \right]$
b] Số m được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y = f\left[ x \right]$ trên tập D nếu $f\left[ x \right] \ge m$ với mọi x thuộc D và tồn tại ${x_0} \in D$ sao cho $f\left[ {{x_0}} \right] = m$.
Kí hiệu $M = \mathop {\min }\limits_D f\left[ x \right]$.
II. CÁCH TÍNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN
* Định lí
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Cách tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, ta có 2 quy tắc sau:
1. Quy tắc 1 [sử dụng định nghĩa]
- Giả sử f xác định trên $D \subset R$, ta có:
$\begin{array}{l}M = \mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left[ x \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left[ x \right] \le M,\forall x \in D}\\{\exists {x_o} \in D:f\left[ {{x_o}} \right] = M}\end{array}} \right.\\m = \mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left[ x \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left[ x \right] \ge m,\forall x \in D}\\{\exists {x_o} \in D:f\left[ {{x_o}} \right] = m}\end{array}} \right.
\end{array}$
2. Quy tắc 2 [Quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn]
Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left[ x \right]$ xác định trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$, ta làm như sau:
- Bước 1: Tìm các điểm ${x_1},{x_2},...,{x_n} \in \left[ {a;b} \right]$ mà tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
- Bước 2: Tính $f\left[ {{x_1}} \right],f\left[ {{x_2}} \right],...,f\left[ {{x_n}} \right],f\left[ a \right],f\left[ b \right]$.
- Bước 3: so sánh các giá trị tìm được ở bước 2. Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là giá trị lớn nhất của f trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là giá trị nhỏ nhất của f trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$.
Ví dụ: Tính giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ {\frac{\pi }{6};\frac{{7\pi }}{6}} \right]$.
Giải
Từ đồ thị của hàm số số $y = \sin x$, ta thấy ngay:
Trên đoạn $\left[ {\frac{\pi }{6};\frac{{7\pi }}{6}} \right]$, ta có:
$y\left[ {\frac{\pi }{6}} \right] = \frac{1}{2};y\left[ {\frac{\pi }{2}} \right] = 1$
Và $y\left[ {\frac{{7\pi }}{6}} \right] = - \frac{1}{2}$
Từ đó $\mathop {\max }\limits_D y = 1;\mathop {\min }\limits_D y = -\frac{1}{2}$ .Page 2
SureLRN
Bài viết này, boxthuthuat sẽ chia sẻ với các bạn những lý thuyết, định nghĩa cùng cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, kèm những ví dụ minh họa, bài tập có lời giải chi tiết
Định nghĩa
Cho hàm số xác định trên D
Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số
Phương pháp chung: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f[x] trên D ta tính y ‘ , tìm các điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại và lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên ta suy ra GTLN, GTNN.
Chú ý:
• Nếu hàm số y = f[x] là hàm tuần hoàn chu kỳ T thì để tìm GTLN, GTNN của nó trên D ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN trên một đoạn thuộc D có độ dài bằng T .
* Cho hàm số y = f[x] xác định trên D. Khi đặt ẩn phụ t = u[x], ta tìm được t ∈ E với ∀ x ∈ D , ta có y = g[x] thì Max, Min của hàm f trên D chính là Max, Min của hàmg trên E .
* Khi bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà không nói trên tập nào thì ta hiểu là tìm GTLN, GTNN trên tập xác định của hàm số.
* Ngoài phương pháp khảo sát để tìm Max, Min ta còn dùng phương pháp miền giá trị hay Bất đẳng thức để tìm Max, Min.
* Ta cần phân biệt hai khái niệm cơ bản :
+ Giá trị lớn nhất của hàm số y = f[x] trên D với cực đại của hàm số .
+ Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f[x] trên D với cực tiểu của hàm số .
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f[x] trên D mang tính toàn cục , còn giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số chỉ mang tính địa phương.
Các dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f[x] trên D ta có thể sử dụng đạo hàm và kết hợp với việc so sánh giá trị cực đại, cực tiểu với giá trị đặc biệt [ta gọi đó là các giá trị tới hạn]. Giá trị tới hạn này thường là các giá trị tại các đầu mút của các đoạn hoặc là giá trị của hàm số tại các điểm mà không tồn tại đạo hàm.
Trên đây là những kiến thức cơ bản về tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số, kèm những bài tập có lời giải. Hi vọng qua những chia sẻ này, bạn sẽ nắm vững kiến thức của dạng bài tập này.
4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
4.1. Định nghĩa.
Cho hàm số $y=f\left[ x \right]$ xác định trên tập $D.$
- Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y=f\left[ x \right]$ trên $D$ nếu:
$\left\{ \begin{array}{l} f[x] \le M,\forall x \in D\\ \exists {x_0} \in D,f[{x_0}] = M
\end{array} \right.$
- Số gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f\left[ x \right]$ trên D nếu:
$\left\{ \begin{array}{l} f[x] \ge m,\forall x \in D\\ \exists {x_0} \in D,f[{x_0}] = m
\end{array} \right.$
. Kí hiệu: $m = \mathop {\min }\limits_{x \in D} {\kern 1pt} f[x]$.
4.2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN
4.2.1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp
- Bước 1: Tính ${f}'\left[ x \right]$ và tìm các điểm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}\in D$ mà tại đó ${f}'\left[ x \right]=0$ hoặc hàm số không có đạo hàm.
- Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
4.2.2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn
- Hàm số đã cho $y=f\left[ x \right]$ xác định và liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right].$
- Tìm các điểm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}$ trên khoảng $\left[ a;b \right]$, tại đó ${f}'\left[ x \right]=0$ hoặc ${f}'\left[ x \right]$ không xác định.
- Bước 2: Tính $f\left[ a \right],f\left[ {{x}_{1}} \right],f\left[ {{x}_{2}} \right],...,f\left[ {{x}_{n}} \right],f\left[ b \right].$
- Bước 3: Khi đó:
- $\underset{\left[ a,b \right]}{\mathop{\text{max}}}\,f\left[ x \right]=\text{max}\left\{ f\left[ {{x}_{1}} \right],f\left[ {{x}_{2}} \right],...,f\left[ {{x}_{n}} \right],f\left[ a \right],f\left[ b \right] \right\}.$
- $\underset{\left[ a,b \right]}{\mathop{\text{min}}}\,f\left[ x \right]=\text{min}\left\{ f\left[ {{x}_{1}} \right],f\left[ {{x}_{2}} \right],...,f\left[ {{x}_{n}} \right],f\left[ a \right],f\left[ b \right] \right\}.$
4.2.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng
- Bước 1: Tính đạo hàm ${f}'[x]$.
- Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm ${{x}_{i}}\in [a;b]$ của phương trình ${f}'[x]=0$ và tất cả các điểm ${{\alpha }_{i}}\in [a;b]$ làm cho ${f}'[x]$ không xác định.
- Bước 3. Tính $A=\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f[x]$, $B=\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f[x]$, $f[{{x}_{i}}]$, $f[{{\alpha }_{i}}]$.
- Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận $M=\underset{[a;b]}{\mathop{\max }}\,f[x]$, $m=\underset{[a;b]}{\mathop{\min }}\,f[x]$.
Nếu giá trị lớn nhất [nhỏ nhất] là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất [nhỏ nhất].
Chú ý:
- Nếu $y = f\left[ x \right]$ đồng biến trên $\left[ {a;b} \right]$ thì
$\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left[ x \right] = f\left[ a \right]\\ \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left[ x \right] = f\left[ b \right]
\end{array} \right.$
. - Nếu $y = f\left[ x \right]$ nghịch biến trên $\left[ {a;b} \right]$ thì
$\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f[x] = f\left[ b \right]\\ \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f[x] = f\left[ a \right]
\end{array} \right..$
- Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.