Phương pháp giải
Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một số hàm số lượng giác, ta biến đổi hàm số đã cho về dạng y = a + bsint hoặc y = a + bcost và sử dụng kết quả: – 1 ≤sinx ≤1; – 1 ≤cosx ≤1.
Bài tập minh họa có giải
Bài 1: Hàm số y = 2sinxcosx + cos2x có giá trị lớn nhất là
A. 3
B. 2√2
C. 2
D. √2
Lời giải:
Ta có y = sin2xcos2x = √2 sin[2x + π/4] nên giá trị lớn nhất của hàm số là √2.
Đáp án là D.
Bài 2: Hàm số y = [sinx – cosx]2 + cos2x có giá trị nhỏ nhất là:
A. - 1
B. 1- √2
C. 0
D. 1 + √2
Lời giải:
Ta có y = sin2x + cos2x -2sinxcosx + cos2x
= 1 – sin2x + cos2x = 1 - √2 sin[2x - π/4].
Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1 - √2.
Đáp án là B.
Tham khảo thêm các Bài tập trắc nghiệm Đại số và giải tích 11
Trang chủ
Sách ID
Khóa học miễn phí
Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023
18/06/2021 3,907
Đáp án chính xác
Với mọi x , ta có:
-1≤ sin2x ≤1⇔1≤2 + sin2x ≤3⇒ 1≤2 + sin2x ≤3⇔2≤1 + 2 + sin2x ≤1+ 3
Do đó . maxy = 1+ 3; min y = 2
chọn A.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Tìm GTLN và GTNN của hàm số
y=3sinx + 4cosx + 5
Xem đáp án » 18/06/2021 28,827
Tập xác định của hàm số y=tanx + cotx là
Xem đáp án » 18/06/2021 28,451
Tìm GTLN và GTNN của hàm số sau: y=sinx + 2cosx + 1sinx + cosx +2
Xem đáp án » 18/06/2021 24,503
Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: y=2sin2x + cos22x
Xem đáp án » 18/06/2021 16,345
Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 4 - 3 sin22x
Xem đáp án » 18/06/2021 13,099
Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sin x + sin 2x + sin3x = 0 thuộc [0;π]
Xem đáp án » 18/06/2021 8,125
Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhât của hàm số sau: y=1+3sin2x-π4
Xem đáp án » 18/06/2021 7,391
Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số chẵn
Xem đáp án » 18/06/2021 7,034
Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=4sinxcosx +1
Xem đáp án » 18/06/2021 6,555
Hàm số y=3+2cos x tăng trên khoảng:
Xem đáp án » 18/06/2021 6,488
Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn
Xem đáp án » 18/06/2021 5,072
Tìm GTLN và GTNN của hàm sau: y = 2sinx +3
Xem đáp án » 18/06/2021 4,505
Tìm GTLN và GTNN của hàm số sau: y=1-2cos2x + 1
Xem đáp án » 18/06/2021 4,207
Tìm tập xác định của hàm số sau: y=tan[x-π6]
Xem đáp án » 18/06/2021 4,019
Cho hàm số f[x] = cos 2x và g[x] = tan 3x, chọn mệnh đề đúng
Xem đáp án » 18/06/2021 3,466
Đáp án:
GTLN của hàm số là $\dfrac{1}{4}$, đạt tại $x = -\dfrac{\pi}{4} + \arctan [\dfrac{1}{2\sqrt{2}}] + 2k\pi$ hoặc $x = \dfrac{3\pi}{4} – \arctan[\dfrac{1}{2\sqrt{2}}] + 2k\pi$
GTNN của hàm số là $-2-\sqrt{2}$ đạt được khi $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$
Lời giải:
Ta đặt $t = \sin x + \cos x$, khi đó $t = \sqrt{2} \sin[x + \dfrac{\pi}{4}]$. Vậy $t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ và
$t^2 = \sin^2x + \cos^2x + 2\sin x \cos x$
$\Leftrightarrow t^2 = 1 + \sin[2x]$
$\Leftrightarrow \sin[2x] = 1 – t^2$.
Thay vào hso ta có
$y = t + [1-t^2] – 1$
$\Leftrightarrow y = -t^2 + t$
Hàm bậc 2 này có đồ thị là một Parabol úp xuống, với tọa độ đỉnh là $[\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}]$.
Ta xét
$y[-\sqrt{2}] = -2-\sqrt{2}, y[\sqrt{2}] = -2 + \sqrt{2}$
Ta thấy $y[-\sqrt{2}] < y[\sqrt{2}] < y[\dfrac{1}{2}]$
Vậy GTLN của hàm số là tại $t = \dfrac{1}{2}$ và GTNN của hàm số đạt tại $t = -\sqrt{2}$
Với $t = \dfrac{1}{2}$, ta suy ra $\sqrt{2} \sin[x + \dfrac{\pi}{4}] = \dfrac{1}{2}$
Vậy $\sin[x + \dfrac{\pi}{4}] = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$
Do đó $x = -\dfrac{\pi}{4} + \arctan [\dfrac{1}{2\sqrt{2}}] + 2k\pi$ hoặc $x = \dfrac{3\pi}{4} – \arctan[\dfrac{1}{2\sqrt{2}}] + 2k\pi$
Với $t = -\sqrt{2}$, ta suy ra $\sin[x + \dfrac{\pi}{4} = -1$
Vậy $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$.
Vậy GTLN của hàm số là $\dfrac{1}{4}$, đạt tại $x = -\dfrac{\pi}{4} + \arctan [\dfrac{1}{2\sqrt{2}}] + 2k\pi$ hoặc $x = \dfrac{3\pi}{4} – \arctan[\dfrac{1}{2\sqrt{2}}] + 2k\pi$
Và GTNN của hàm số là $-2-\sqrt{2}$ đạt được khi $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$.