Câu 1 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao
Ba vecto \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] có đồng phẳng không nếu một trong hai điều sau đây xảy ra ?
a. Có một vecto trong ba vecto đó bằng \[\overrightarrow 0 \]
b. Có hai vecto trong ba vecto đó cùng phương.
Giải
a. Giả sử \[\overrightarrow a = \overrightarrow 0 .\] Áp dụng định lí 1 : \[\overrightarrow a = 0.\overrightarrow b + 0.\overrightarrow c \] nên \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] đồng phẳng.
b. Giả sử \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b \] cùng phương, khi đó có số k sao cho \[\overrightarrow a = k\overrightarrow b \]
\[ \Rightarrow \overrightarrow a = k\overrightarrow b + 0.\overrightarrow c \] do đó \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] đồng phẳng.
Câu 2 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hình chóp S.ABCD.
a. Chứng minh rằng nếu ABCD là hình bình hành thì \[\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} \]. Điều ngược lại có đúng không ?
b. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng tỏ rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi \[\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \]
Giải
a. Ta có:
\[\eqalign{ & \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {SB} - \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SD} \Leftrightarrow \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DA} \cr} \]
ABCD là hình bình hành.
b. Ta có:
\[\eqalign{ & \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {SO} \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \,\,\left[ * \right] \cr} \]
Nếu ABCD là hình bình hành thì \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \] suy ra
\[\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \] [do [*]]
Ngược lại, giả sử \[\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} ,\] ta có [*].
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD thì :
\[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {ON} \]
Từ [*] suy ra \[2\left[ {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} } \right] = \overrightarrow 0 ,\] điều này chứng tỏ O, M, N thẳng hàng
Mặt khác, M thuộc AC, N thuộc BD và O là giao điểm của AC và BD nên O, M, N thẳng hàng chỉ xảy ra khi O M N, tức O là trung điểm AC và BD, hay ABCD là hình bình hành.
Câu 3 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC. Gọi G và G lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và ABC, I là giao điểm của hai đường thẳng AB và AB. Chứng minh rằng các đường thẳng GI và CG song song với nhau.
Giải
Đặt \[\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c \]
Thì \[\overrightarrow {AG} = {1 \over 3}\left[ {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right],\overrightarrow {AI} = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right]\]
Do đó, \[\overrightarrow {GI} = \overrightarrow {AI} - \overrightarrow {AG} = {{3\overrightarrow a + \overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \over 6}\]
Mặt khác : \[\overrightarrow {AG'} = {1 \over 3}\left[ {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AC'} } \right] = \overrightarrow a + {1 \over 3}\left[ {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right]\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {CG'} = \overrightarrow {AG'} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow a + {1 \over 3}\left[ {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right] - \overrightarrow c \]
\[= {{3\overrightarrow a + \overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \over 3}\]
Vậy \[\overrightarrow {CG'} = 2\overrightarrow {GI} .\] Ngoài ra, điểm G không thuộc đường thẳng CG nên GI và CG là hai đường thẳng song song.
Câu 4 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hình hộp ABCD.ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD; G và G lần lượt là trọng tâm của các tứ diện ADMN và BCCD. Chứng minh rằng đường thẳng GG và mặt phẳng [ABBA] song song với nhau.
Giải
Đặt \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow c .\]
Vì G là trọng tâm tứ diện BCCD nên \[\overrightarrow {AG'} = {1 \over 4}\left[ {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {AD'} } \right]\]
Và G là trọng tâm tứ diện ADMN nên
\[\eqalign{ & \overrightarrow {AG} = {1 \over 4}\left[ {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AD'} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} } \right] \cr & \Rightarrow \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {AG'} - \overrightarrow {AG} \cr& = {1 \over 4}\left[ {\overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {D'C} + \overrightarrow {MC'} + \overrightarrow {ND'} } \right] \cr & = {1 \over 4}\left[ {\overrightarrow a - \overrightarrow c + \overrightarrow a - \overrightarrow c + {1 \over 2}\overrightarrow a + \overrightarrow c + {1 \over 2}\overrightarrow c } \right] \cr & = {1 \over 8}\left[ {5\overrightarrow a - \overrightarrow c } \right] = {1 \over 8}\left[ {5\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} } \right] \cr} \]
Do đó \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {GG'} \] đồng phẳng. Mặt khác, G không thuộc mặt phẳng [ABBA] nên đường thẳng GG và mặt phẳng [ABBA] song song với nhau.
Câu 5 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao
Trong không gian cho tam giác ABC.
a. Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mp[ABC] thì có ba số x, y, z mà x + y + z = 1 sao cho \[\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {xOA} + \overrightarrow {yOB} + \overrightarrow {zOC} \] với mọi điểm O.
b. Ngược lại, nếu có một điểm O trong không gian saao cho \[\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {xOA} + \overrightarrow {yOB} + \overrightarrow {zOC} ,\] trong đó x + y + z = 1 thì điểm M thuộc mp[ABC].
Giải
a. Vì \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \] là hai vecto không cùng phương nên điểm M thuộc mp[ABC] khi và chỉ khi có \[\overrightarrow {AM} = l\overrightarrow {AB} + m\overrightarrow {AC} \]
hay \[\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OA} = l\left[ {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} } \right] + m\left[ {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OA} } \right]\] với mọi điểm O
tức là \[\overrightarrow {OM} = \left[ {1 - l - m} \right]\overrightarrow {OA} + l\overrightarrow {OB} + m\overrightarrow {OC} \]
đặt \[1 - l - m = x,l = y,m = z\] thì \[\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} + z\overrightarrow {OC} \] với \[x + y + z = 1.\]
b. Giả sử \[\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} + z\overrightarrow {OC} \] với \[x + y + z = 1,\] ta có :
\[\eqalign{ & \overrightarrow {OM} = \left[ {1 - y - z} \right]\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} + z\overrightarrow {OC} \cr & hay\,\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OA} = y\overrightarrow {AB} + z\overrightarrow {AC} \cr & \text{ tức là }\overrightarrow {AM} = y\overrightarrow {AB} + z\overrightarrow {AC} \cr} \]
Mà \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \] không cùng phương nên M thuộc mặt phẳng [ABC]
Câu 6 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A, B, C lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = aSA, SB = bSB, SC = cSC, trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng [ABC] đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a + b + c = 3.
Giải
Ta có: \[\overrightarrow {SA} = a\overrightarrow {SA'} ,\;\overrightarrow {SB} = b\overrightarrow {SB'} ,\;\overrightarrow {SC} = c\overrightarrow {SC} .\]
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì
\[\eqalign{ & \overrightarrow {SG} = {1 \over 3}.\left[ {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} } \right] \cr & Vay\,\overrightarrow {SG} = {a \over 3}\overrightarrow {SA'} + {b \over 3}\overrightarrow {SB'} + {c \over 3}\overrightarrow {SC'} \cr} \]
Mặt phẳng [ABC] đi qua G khi và chỉ khi 4 điểm G, A, B, C đồng phẳng, nên theo kết quả bài tập 5 [SGK trang 91] , điều đó xảy ra nếu và chỉ nếu \[{a \over 3} + {b \over 3} + {c \over 3} = 1\] , tức là: a + b + c = 3.