Bài 1 trang 130 sgk toán 8 tập 2
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a]\[{a^2} - {b^2} - 4a + 4;\]
b] \[{x^2} + 2x - 3\]
c] \[4{x^2}{y^2} - {\left[ {{x^2}{y^2}} \right]^2}\]
d] \[2{a^3} - 54{b^3}\].
Hướng dẫn làm bài:
a] \[{a^2} - {b^2} - 4a + 4 \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 - {b^2}\]
= \[{\left[ {a - 2} \right]^2} - {b^2} = \left[ {a - 2 + b} \right]\left[ {a - 2 - b} \right]\]
= \[\left[ {a + b - 2} \right]\left[ {a - b - 2} \right]\]
b] \[{x^2} + 2x - 3 = {x^2} + 2x + 1 - 4\]
=\[{\left[ {x + 1} \right]^2} - {2^2} = \left[ {x + 1 + 2} \right]\left[ {x + 1 - 2} \right]\]
=\[\left[ {x + 3} \right]\left[ {x - 1} \right]\]
c] \[4{x^2}{y^2} - {\left[ {{x^2}{y^2}} \right]^2} = {\left[ {2xy} \right]^2} - {\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]^2}\]
= \[\left[ {2xy - {x^2} - {y^2}} \right]\left[ {2xy + {x^2} + {y^2}} \right]\]
=\[- \left[ {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right]\left[ {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right]\]
=\[- {\left[ {x - y} \right]^2}{\left[ {x + y} \right]^2}\]
d] \[2{a^3} - 54{b^3} = 2\left[ {{a^3} - 27{b^3}} \right]\]
=\[2\left[ {{a^3} - {{\left[ {3b} \right]}^3}} \right] = 2\left[ {a - 3b} \right]\left[ {{a^2} + 3ab + 9{b^2}} \right]\].
Bài 2 trang 130 sgk toán 8 tập 2
a]Thực hiện phép chia:
[2x4 4x3 + 5x2 + 2x 3] : [2x2 1].
b] Chứng tỏ rằng thương tìm được trong phép chia trên luôn luôn dương với mọi giá trị của x.
Hướng dẫn làm bài:
Vậy \[2\left[ {{a^3} - {{\left[ {3b} \right]}^3}} \right] = 2\left[ {a - 3b} \right]\left[ {2{x^4} - 4{x^4} + 5{x^2} + 2x - 3} \right]:\left[ {2{x^2} - 1} \right] = {x^2} - 2x + 3\left[ {{a^2} + 3ab + 9{b^2}} \right]\]
Vậy \[x \in \left\{ { - 2;1;2;5} \right\}\]
b] Thương tìm được có thể viết:
\[{x^2} - 2x + 3 = \left[ {{x^2} - 2x + 1} \right] + 2\]
= \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + 2 > 0\]với mọi x
Vậy thương tìm được luôn luôn dương với mọi giá trị của x.
Bài 3 trang 130 sgk toán 8 tập 2
Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ bất kì thì chia hết cho 8.
Hướng dẫn làm bài:
Gọi hai số lẻ bất kì là 2a + 1 và 2b + 1 [a, b Z]
Hiệu bình phương của hai số lẻ đó bằng :
\[{\left[ {2a{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right]^2}-{\rm{ }}{\left[ {2b{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right]^2} = \left[ {4{a^2} + {\rm{ }}4a{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right]{\rm{ }}-{\rm{ }}\left[ {4{b^2} + {\rm{ }}4b{\rm{ }} + 1} \right]\]
\[ = \left[ {4{a^2} + {\rm{ }}4a} \right]{\rm{ }}-{\rm{ }}\left[ {4{b^2} + {\rm{ }}4b} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}4a\left[ {a{\rm{ }} + 1} \right]{\rm{ }}-{\rm{ }}4b\left[ {b{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right]\]
Vì tích của hai số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 nên a[a+1] và b[b+1] chia hết cho 2.
Do đó 4a[a + 1] và 4b[b + 1] chia hết cho 8
4a[a + 1] 4b[b + 1] chia hết cho 8.
Vậy \[{\left[ {2a{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right]^2}-{\rm{ }}{\left[ {2b{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right]^2}\]chia hết cho 8.
Bài 4 trang 130 sgk toán 8 tập 2
Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau tại \[x = - {1 \over 3}\]:
\[\left[ {{{x + 3} \over {{{\left[ {x - 3} \right]}^2}}} + {6 \over {{x^2} - 9}} - {{x - 3} \over {{{\left[ {x + 3} \right]}^2}}}} \right]\left[ {1:\left[ {{{24{x^2}} \over {{x^4} - 81}} - {{12} \over {{x^2} + 9}}} \right]} \right]\]
Hướng dẫn làm bài:
+Ngoặc vuông thứ nhất:
\[\left[ {{{x + 3} \over {{{\left[ {x - 3} \right]}^2}}} + {6 \over {{x^2} - 9}} - {{x - 3} \over {{{\left[ {x + 3} \right]}^2}}}} \right]{{x + 3} \over {{{\left[ {x - 3} \right]}^2}}} + {6 \over {{x^2} - 9}} - {{x - 3} \over {{{\left[ {x + 3} \right]}^2}}}\]
\[= {{x + 3} \over {{{\left[ {x - 3} \right]}^2}}} + {6 \over {\left[ {x - 3} \right]\left[ {x + 3} \right]}} - {{x - 3} \over {{{\left[ {x + 3} \right]}^2}}}\left[ {1:\left[ {{{24{x^2}} \over {{x^4} - 81}} - {{12} \over {{x^2} + 9}}} \right]} \right]\]
\[={{{{\left[ {x + 3} \right]}^2} + 6\left[ {x - 3} \right]\left[ {x + 3} \right] - {{\left[ {x - 3} \right]}^2}} \over {{{\left[ {x - 3} \right]}^2}{{\left[ {x + 3} \right]}^2}}}\]
\[={{{x^3} + 9{x^2} + 27x + 27 + 6{x^2} - 54 - \left[ {{x^3} - 9{x^2} + 27x - 27} \right]} \over {{{\left[ {x - 3} \right]}^2}{{\left[ {x + 3} \right]}^2}}}\]
\[={{24{x^2}} \over {{{\left[ {x - 3} \right]}^2}{{\left[ {x + 3} \right]}^2}}}\]
\[={{24{x^2}} \over {{{\left[ {{x^2} - 9} \right]}^2}}}\]
+Ngoặc vuông thứ hai:
\[1:\left[ {{{24{x^2}} \over {{x^4} - 81}} - {{12} \over {{x^2} + 9}}} \right] = 1:\left[ {{{24{x^2}} \over {\left[ {{x^2} - 9} \right]\left[ {{x^2} + 9} \right]}} - {{12} \over {{x^2} + 9}}} \right]\]
\[=1:\left[ {{{24{x^2} - 12\left[ {{x^2} - 9} \right]} \over {\left[ {{x^2} - 9} \right]\left[ {{x^2} + 9} \right]}}} \right]\]
\[=1:{{12{x^2} + 108} \over {\left[ {{x^2} - 9} \right]\left[ {{x^2} + 9} \right]}}\]
\[=1.{{\left[ {{x^2} - 9} \right]\left[ {{x^2} + 9} \right]} \over {12{x^2} + 108}}\]
\[={{\left[ {{x^2} - 9} \right]\left[ {{x^2} + 9} \right]} \over {12{x^2} + 108}}\]
\[={{\left[ {{x^2} - 9} \right]\left[ {{x^2} + 9} \right]} \over {12\left[ {{x^2} + 9} \right]}}\]
\[={{{x^2} - 9} \over {12}}\]
Nên
\[\left[ {{{x + 3} \over {{{\left[ {x - 3} \right]}^2}}} + {6 \over {{x^2} - 9}} - {{x - 3} \over {{{\left[ {x + 3} \right]}^2}}}} \right]\left[ {1:\left[ {{{24{x^2}} \over {{x^4} - 81}} - {{12} \over {{x^2} + 9}}} \right]} \right]\]
\[=\left[ {{{x + 3} \over {{{\left[ {x - 3} \right]}^2}}} + {6 \over {{x^2} - 9}} - {{x - 3} \over {{{\left[ {x + 3} \right]}^2}}}} \right]{{24{x^2}} \over {{{\left[ {{x^2} - 9} \right]}^2}}}.{{{x^2} - 9} \over {12}}\]
\[= {{2{x^2}} \over {{x^2} - 9}}\left[ {1:\left[ {{{24{x^2}} \over {{x^4} - 81}} - {{12} \over {{x^2} + 9}}} \right]} \right]\]
Tại \[x = - {1 \over 3}\]giá trị của biểu thức là:
\[{{2{{\left[ { - {1 \over 3}} \right]}^2}} \over {{{\left[ { - {1 \over 3}} \right]}^2} - 9}} = {{2.{1 \over 9}} \over {{1 \over 9} - 9}} = {{{2 \over 9}} \over { - {{80} \over 9}}} = - {1 \over {40}}\]
Bài 5 trang 131 sgk toán 8 tập 2
Chứng minh rằng:
\[{{{a^2}} \over {a + b}} + {{{b^2}} \over {b + c}} + {{{c^2}} \over {c + a}} = {{{b^2}} \over {a + b}} + {{{c^2}} \over {b + c}} + {{{a^2}} \over {c + a}}\]
Hướng dẫn làm bài:
Cách 1: Thực hiện phép cộng riêng từng vế:
VT: \[={{{a^2}} \over {a + b}} + {{{b^2}} \over {b + c}}{{{a^2}\left[ {b + c} \right]\left[ {c + a} \right] + {b^2}\left[ {a + b} \right]\left[ {c + a} \right] + {c^2}\left[ {a + b} \right]\left[ {b + c} \right]} \over {\left[ {a + b} \right]\left[ {b + c} \right]\left[ {c + a} \right]}} + {{{c^2}} \over {c + a}}\]
\[={{{b^2}} \over {a + b}} + {{{c^2}} \over {b + c}} + {{{a^2}} \over {c + a}}\]
Tử bằng:
\[={a^2}\left[ {bc + ab + {c^2} + ac} \right] + {b^2}\left[ {ac + {a^2} + bc + ab} \right] + {a^2}\left[ {ab + ac + {b^2} + bc} \right]\]
\[={a^2}bc + {a^3}b + {a^2}{c^2} + {a^3}c + a{b^2}c + {a^2}{b^2} + {b^3}c + a{b^3} + ab{c^3} + a{c^3} + {b^2}{c^2} + b{c^3}\]
\[={a^3}\left[ {b + c} \right] + {a^2}\left[ {bc + {b^2} + {c^2}} \right] + a\left[ {{b^3} + {c^3} + {b^2}c + b{c^2}} \right] + bc\left[ {bc + {b^2} + {c^2}} \right]\left[ 1 \right]\] [1]
VP: \[={a^3}\left[ {b + c} \right] + {a^2}\left[ {bc + {b^2} + {c^2}} \right] + a\left[ {{b^3} + {c^3} + {b^2}c + b{c^2}} \right]{{{b^2}\left[ {b + c} \right]\left[ {c + a} \right] + {c^2}\left[ {a + b} \right]\left[ {c + a} \right] + {a^2}\left[ {a + b} \right]\left[ {b + c} \right]} \over {\left[ {a + b} \right]\left[ {b + c} \right]\left[ {c + a} \right]}} + bc\left[ {bc + {b^2} + {c^2}} \right]\left[ 1 \right]\]
\[={b^2}\left[ {bc + ab + {c^2} + ac} \right] + {c^2}\left[ {ac + {a^2} + bc + ab} \right] + {a^2}\left[ {ab + ac + {b^2} + bc} \right]\]
\[={b^3}c + a{b^3} + {b^2}{c^2} + a{b^2}c + a{c^3} + {a^2}{c^2} + b{c^3} + ab{c^2} + {a^3}b + {a^3}c + {a^2}{b^2} + {a^2}bc\]
\[={a^3}\left[ {b + c} \right] + {a^2}\left[ {bc + {b^2} + {c^2}} \right] + a\left[ {{b^3} + {c^3} + {b^2}c + b{c^2}} \right] + bc\left[ {bc + {b^2} + {c^2}} \right]\][2]
So sánh [1] và [2] ta suy ra vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.
Cách 2: Xét hiệu hai vế
\[{a^3}\left[ {b + c} \right] + {a^2}\left[ {bc + {b^2} + {c^2}} \right] + a\left[ {{b^3} + {c^3} + {b^2}c + b{c^2}} \right] + bc\left[ {bc + {b^2} + {c^2}} \right]{{{a^2}} \over {a + b}} - {{{b^2}} \over {a + b}} + {{{b^2}} \over {b + c}} - {{{c^2}} \over {b + c}} + {{{c^2}} \over {c + a}} - {{{a^2}} \over {c + a}}\]
\[={{\left[ {a + b} \right]\left[ {a - b} \right]} \over {a + b}} - {{\left[ {b + c} \right]\left[ {b - c} \right]} \over {b + c}} + {{\left[ {c + a} \right]\left[ {c - a} \right]} \over {c + a}}\]
\[=a - b + b - c + c - a = 0\]
Vậy \[{{{a^2}} \over {a + b}} + {{{b^2}} \over {b + c}} + {{{c^2}} \over {c + a}} = {{{b^2}} \over {a + b}} + {{{c^2}} \over {b + c}} + {{{a^2}} \over {c + a}}\]
Nhận xét: Cách 2 nhanh gọn hơn cách 1.