Câu 1 trang 223 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
a. Tính \[\sin {\pi \over 8}\,\text{ và }\,\cos {\pi \over 8}\]
b. Chứng minh rằng có hằng số C > 0 để có đẳng thức
\[\sin x + \left[ {\sqrt 2 - 1} \right]\cos x = C\cos \left[ {x - {{3\pi } \over 8}} \right]\] với mọi x.
Giải:
a. Ta có:
\[\eqalign{ & {\sin ^2}{\pi \over 8} = {{1 - \cos {\pi \over 4}} \over 2} = {{1 - {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2} = {{2 - \sqrt 2 } \over 4} \cr & \Rightarrow \sin {\pi \over 8} = {1 \over 2}\sqrt {2 - \sqrt 2 } \cr & {\cos ^2}{\pi \over 8} = {{1 + \cos {\pi \over 4}} \over 2} = {{1 + {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2} = {{2 + \sqrt 2 } \over 4} \cr & \Rightarrow \cos {\pi \over 8} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \cr} \]
b. Ta có:
\[\eqalign{ & {1^2} + {\left[ {\sqrt 2 - 1} \right]^2} = 4 - 2\sqrt 2 .\,\text{ Do đó}\,: \cr & \sin x + \left[ {\sqrt 2 - 1} \right]\cos x \cr & = \left[ {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } } \right]\left[ {{1 \over {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } }}\sin x + {{\sqrt 2 - 1} \over {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } }}\cos x} \right] \cr & = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \left[ {\sin x\cos {\pi \over 8} + \sin {\pi \over 8}\cos x} \right] \cr & = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \sin \left[ {x + {\pi \over 8}} \right] \cr & = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \cos \left[ {x - {{3\pi } \over 8}} \right] \cr & \text{ Vì }\,{1 \over {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } }} = {{\sqrt {4 + 2\sqrt 2 } } \over {\sqrt 8 }} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } = \cos {\pi \over 8}. \cr & \text{Vậy }\,C = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \cr} \]
Câu 2 trang 223 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải phương trình
\[\tan x = \cot 2x\]
Biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác.
Giải:
Điều kiện
\[{\mathop{\rm cosx}\nolimits} .sin2x \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {\sin x \ne 0} \cr {\cos x \ne 0} \cr } } \right. \Leftrightarrow x \ne k{\pi \over 2}\]
\[\eqalign{ & \tan x = \cot 2x \Leftrightarrow {{\sin x} \over {\cos x}} = {{\cos 2x} \over {\sin 2x}} \cr& \Leftrightarrow\cos x \cos 2x - \sin x\sin 2x = 0 \cr & \Leftrightarrow \cos 3x = 0 \Leftrightarrow \cos x\left[ {4{{\cos }^2}x - 3} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow {\cos ^2}x = {3 \over 4} \cr & \Leftrightarrow {{1 + \cos 2x} \over 2} = {3 \over 4} \Leftrightarrow \cos 2x = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow x =\pm {\pi \over 6} + k\pi [k\in\mathbb Z] \cr} \]
Biểu diễn nghiệm trên đường tròn được 4 điểm.
Câu 3 trang 223 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P\left[ x \right] = {\left[ {\sin x + \cos x} \right]^3}\]
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[Q\left[ x \right] = {1 \over {{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}\]
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[R\left[ x \right] = P\left[ x \right] + Q\left[ x \right]\]
Giải:
a. \[P\left[ x \right] = 2\sqrt 2 {\cos ^3}\left[ {x - {\pi \over 4}} \right] \ge - 2\sqrt 2 \] [đẳng thức xảy ra khi \[x = - {{3\pi } \over 4}+k2\pi\] ]
Vậy \[\min P\left[ x \right] = - 2\sqrt 2 \]
b. \[Q\left[ x \right] = {4 \over {{{\sin }^2}2x}} \ge 4\] [đẳng thức xảy ra, chẳng hạn khi \[x = \pm {{3\pi } \over 4}\] ]
Vậy min Q[x] = 4
c. \[R\left[ x \right] = P\left[ x \right] + Q\left[ x \right] \ge 4 - 2\sqrt 2 \] [đẳng thức xảy ra, chẳng hạn khi \[x = - {{3\pi } \over 4}\]
Vậy \[{\mathop{\rm min\,R}\nolimits} \left[ x \right] = 4 - 2\sqrt 2 \]
Câu 4 trang 223 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải các phương trình :
a. \[{\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {3 \over 4}\]
b. \[{\sin ^2}2x - {\sin ^2}x = {\sin ^2}{\pi \over 4}\]
c. \[\cos x\cos 2x = \cos 3x\]
d. \[\tan 2x - \sin 2x + \cos 2x - 1 = 0\]
Giải:
a.
\[\eqalign{ & {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {3 \over 4} \cr & \Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = {3 \over 4} \cr & \Leftrightarrow 1 - {1 \over 2}{\sin ^2}2x = {3 \over 4} \cr & \Leftrightarrow {\sin ^2}2x = {1 \over 2} \Leftrightarrow {{1 - \cos 4x} \over 2} = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow \cos 4x = 0 \Leftrightarrow x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 4},k \in\mathbb Z \cr} \]
b.
\[\eqalign{ & {\sin ^2}2x - {\sin ^2}x = {\sin ^2}{\pi \over 4} \cr & \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x{\cos ^2}x - {\sin ^2}x = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow 8{\sin ^2}x\left[ {1 - {{\sin }^2}x} \right] - 2{\sin ^2}x = 1 \cr & \Leftrightarrow 8{\sin ^4}x - 6{\sin ^2}x + 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {{{\sin }^2}x = {1 \over 2}} \cr {{{\sin }^2}x = {1 \over 4}} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {{{1 - \cos 2x} \over 2} = {1 \over 2}} \cr {{{1 - \cos 2x} \over 2} = {1 \over 4}} \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {\cos 2x = 0} \cr {\cos 2x = {1 \over 2}} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = {\pi \over 4} + k{\pi \over 2}} \cr {x = {\pi \over 6} + k{\pi \over 2}} \cr } } \right. \cr} \]
c.
\[\eqalign{ & \cos x\cos 2x = \cos 3x \cr & \Leftrightarrow {1 \over 2}\left[ {\cos 3x + \cos x} \right] = \cos 3x \cr & \Leftrightarrow \cos 3x = \cos x \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {3x = x + k2\pi } \cr {3x = - x + k2\pi } \cr } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = k\pi } \cr {x = k{\pi \over 2}} \cr } } \right.\cr& \Leftrightarrow x = k{\pi \over 2},k \in\mathbb Z \cr} \]
d. Điều kiên: \[\cos 2x \ne0\]
\[\eqalign{ & \tan 2x - \sin 2x + \cos 2x - 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow \tan 2x\left[ {1 - \cos 2x} \right] - \left[ {1 - \cos 2x} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {1 - \cos 2x} \right]\left[ {\tan 2x - 1} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {\tan 2x = 1} \cr {\cos 2x = 1} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 2}} \cr {x = k\pi } \cr } } \right.k \in\mathbb Z \cr} \]
Câu 5 trang 224 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải các phương trình sau :
a. \[2\sin \left[ {x + 10^\circ } \right] - \sqrt {12} \cos \left[ {x + 10^\circ } \right] = 3\]
b. \[\sqrt 3 \cos 5x + \sin 5x = 2\cos 3x\]
c. \[{\sin ^2}x - 3\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x = 0\]
Giải
a.
\[{a^2} + {b^2} = {2^2} + {\left[ { - \sqrt {12} } \right]^2} = 16.\] Chia hai vế cho \[\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 4\] ta được :
\[\eqalign{ & {1 \over 2}\sin \left[ {x + 10^\circ } \right] - {{\sqrt 3 } \over 2}\cos \left[ {x + 10^\circ } \right] = {3 \over 4} \cr & \Leftrightarrow \sin \left[ {x + 10^\circ } \right]\cos 60^\circ - \sin 60^\circ \cos \left[ {x + 10^\circ } \right] = {3 \over 4} \cr & \Leftrightarrow \sin \left[ {x - 50^\circ } \right] = \sin \alpha \,\text{ với }\,\sin \alpha = {3 \over 4} \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x - 50^\circ = \alpha + k360^\circ } \cr {x - 50^\circ = 180^\circ - \alpha + k360^\circ } \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = \alpha + 50^\circ + k360^\circ } \cr {x = 230^\circ - \alpha + k360^\circ } \cr } } \right. \cr} \]
b.
\[\eqalign{ & \sqrt 3 \cos 5x + \sin 5x = 2\cos 3x \cr & \Leftrightarrow {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 5x + {1 \over 2}\sin 5x = \cos 3x \cr & \Leftrightarrow \cos 5x.\cos {\pi \over 6} + \sin 5x\sin {\pi \over 6} = \cos 3x \cr & \Leftrightarrow \cos \left[ {5x - {\pi \over 6}} \right] = \cos 3x \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {5x - {\pi \over 6} = 3x + k2\pi } \cr {5x - {\pi \over 6} = - 3x + k2\pi } \cr } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = {\pi \over {12}} + k\pi } \cr {x = {\pi \over {48}} + k{\pi \over 4}} \cr } } \right. \cr} \]
c. * \[\cos x = 0 \Rightarrow \sin x = \pm 1\,\text{ nên }\,x = {\pi \over 2} + k\pi \] không là nghiệm của phương trình.
* Chia hai vế phương trình cho \[{\cos ^2}x\] ta được :
\[{\tan ^2}x - 3\tan x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {\tan x = 1} \cr {\tan x = 2} \cr } } \right.\]
\[\Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = \arctan 2 + k\pi } \cr } } \right.\]