Câu 1 trang 109 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng, nếu \[a > b\] và \[ab > 0\]; \[{1 \over a} < {1 \over b}\]
Giải
Ta có:
\[{1 \over a} < {1 \over b} \Leftrightarrow {1 \over b} - {1 \over a} > 0 \Leftrightarrow {{a - b} \over {ab}} > 0\][ đúng vì \[a b > 0\] và \[ab > 0\]]
Vậy\[{1 \over a} < {1 \over b}\]
Câu 2 trang 109 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng nửa chu vi của tam giác lớn hơn mỗi cạnh của tam giác đó.
Đáp án
Gọi a, b, c là ba cạnh của một tam giác
Nửa chu vi của tam giác đó là \[p = {{a + b + c} \over 2}\]
Ta có:
\[p - a = {{a + b + c - 2a} \over 2} = {{b + c - a} \over 2}\]
Vì \[b + c > a\] nên \[p > a\]
Chứng minh tương tự, ta có: \[p > b\] và \[p > c\]
Câu 3 trang 109 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng a2+ b2+ c2 ab + bc + ca với mọi số thực a, b, c.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Giải
Ta có:
a2+ b2+ c2 ab + bc + ca
a2 + b2 + c2 ab bc ca 0
2a2+ 2b2+ 2c2- 2ab - 2bc - 2ca 0
[a - b]2+ [b - c]2+ [c - a]2 0 [luôn đúng]
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b = b c = c a = 0, tức là a = b = c
Câu 4 trang 109 SGK Đại số 10 nâng cao
Hãy so sánh các kết quả sau đây:
a] \[\sqrt {2000} + \sqrt {2005} \]và \[\sqrt {2002} + \sqrt {2003} \][không dùng bảng số hoặc máy tính]
b] \[\sqrt {a + 2} + \sqrt {a + 4} \]và \[\sqrt a + \sqrt {a + 6} \,\,[a \ge 0]\]
Đáp án
a] Giả sử: \[\sqrt {2000} + \sqrt {2005} \, < \sqrt {2002} + \sqrt {2003} \,\,\,\,\,[1]\]
Ta có:
\[\eqalign{
& [1] \Leftrightarrow \,{[\sqrt {2000} + \sqrt {2005} ]^2}\, < {[\sqrt {2002} + \sqrt {2003} \,]^2} \cr
& \Leftrightarrow 4005 + 2\sqrt {2000.2005} < 4005 + 2\sqrt {2002.2003} \cr
& \Leftrightarrow 2000.2005 < 2002.2003 \cr
& \Leftrightarrow 2000.2005 < [2000 + 2][2005 - 2] \cr
& \Leftrightarrow 2000.2005 < 2000.2005 + 6 \cr} \]
Ta thấy kết quả suy ra luôn đúng.
Do đó:\[\sqrt {2000} + \sqrt {2005} < \sqrt {2002} + \sqrt {2003} \]
b] Giả sử:
\[\sqrt {a + 2} + \sqrt {a + 4} \sqrt a + \sqrt {a + 6} \,\,[a \ge 0]\] [2]
Ta có:
\[\eqalign{
& [2] \Leftrightarrow {[\sqrt {a + 2} + \sqrt {a + 4} ]^2} \le {[\sqrt a + \sqrt {a + 6} ]^2} \cr
& \Leftrightarrow 2a + 6 + 2\sqrt {[a + 2][a + 4]} \le 2a \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+ 6 + 2\sqrt {a[a + 6]} \cr
& \Leftrightarrow [a + 2][a + 4] \le a[a + 6] \cr
& \Leftrightarrow {a^2} + 6a + 8 \le {a^2} + 6a \cr
& \Leftrightarrow 8 \le 0 \cr} \]
Ta thấy : \[8 0\] là vô lý
Vậy \[\sqrt {a + 2} + \sqrt {a + 4} > \sqrt a + \sqrt {a + 6} \,\,[a \ge 0]\]