Bài 1 trang 145 SGK Giải tích 12
Cho hàm số:
\[f[x] = ax^2 2[a + 1]x + a + 2 [ a 0]\]
a] Chứng tỏ rằng phương trình f[x] = 0 luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó.
b] Tính tổng \[S\] và tích \[P\] của các nghiệm của phương trình \[f[x] = 0\]. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số của \[S\] và \[P\] theo \[a\].
Giải
Ta có:
\[f[x] = ax^2 2[a + 1]x + a + 2 = [x 1][ax a- 2]\] nên phương trình \[f[x] = 0\] luôn có hai nghiệm thực là:
\[x = 1, x = {{a + 2} \over a}\]
Theo định lí Vi-et, tổng và tích của các nghiệm đó là:
\[S = {{2a + 2} \over a},P = {{a + 2} \over a}\]
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \[S = {{2a + 2} \over a} = 2 + {2 \over a}\]
- Tập xác định : \[[-, 0] [0, +]\]
- Sự biến thiên: \[S' = - {2 \over {{a^2}}} < 0,\forall a \in [ - \infty ,0] \cup [0, + \infty ]\]nên hàm số nghịch biến trên hai khoảng \[[-, 0]\] và \[[0, +]\]
- Cực trị: Hàm số không có cực trị
- Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } S = \mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } [2 + {2 \over a}] = 2 \cr
& \mathop {\lim }\limits_{a \to - \infty } S = \mathop {\lim }\limits_{a \to - \infty } [2 + {2 \over a}] = 2 \cr} \]
Vậy \[S = 2\] là tiệm cận ngang
- Giới hạn vô cực và tiệm cận đứng:
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ + }} S = \mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ + }} [2 + {2 \over a}] = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ - }} S = \mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ - }} [2 + {2 \over a}] = - \infty \cr} \]
Vậy \[a = 0\] là tiệm cận đứng.
- Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị không cắt trục tung, cắt trục hoành tại \[a = -1\]
2] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \[P = {{a + 2} \over a} = 1 + {2 \over a}\]
Tập xác định: \[D = \mathbb R\backslash {\rm{\{ }}0\} \]
\[S' = {{ - 2} \over {{a^2}}} < 0,\forall a \in D\]
\[\mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ - }} S = - \infty \]Tiệm cận đứng: \[a = 0\]
\[\mathop {\lim }\limits_{a \to \pm \infty } S = 1\] Tiệm cận ngang: \[S = 1\]
Đồ thị hàm số:
Ngoài ra: đồ thị hàm số \[P = {{a + 2} \over a} = 1 + {2 \over a}\]có thể nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị \[S = {{2a + 2} \over a} = 2 + {2 \over a}\]dọc theo trục tung xuống phía dưới \[1\] đơn vị.
Bài 2 trang 145 SGK Giải tích 12
Cho hàm số: \[y = - {1 \over 3}{x^3} + [a - 1]{x^2} + [a + 3]x - 4\]
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số [C] của hàm số khi \[a = 0\]
b] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi [C] và đường thẳng \[y = 0, x = -1, x = 1\]
Giải
a] Khi \[a = 0\] ta có hàm số: \[y = - {1 \over 3}{x^3} - {x^2} + 3x - 4\]
- Tập xác định : \[[-, +]\]
- Sự biến thiên: \[y= -x^2 2x + 3\]
\[y=0 x = 1, x = -3\]
Trên các khoảng \[[-, -3]\] và \[[1, +], y < 0\] nên hàm số nghịch biến.
Trên khoảng \[[-3, 1], y > 0\]
_ Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \[x = 1\], \[{y_{CD}} = {{ - 7} \over 3}\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = -3\], \[{y_{CT}} = - 13\]
_ giới hạn vô cực : \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } = + \infty \]
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị cắt trục tung tại \[y = -4\]
Đồ thị cắt trục hoành tại \[x 5, 18\]
b] Hàm số \[y = - {1 \over 3}{x^3} - {x^2} + 3x - 4\] đồng biến trên khoảng \[[-3, 1]\] nên:
\[y < y[1] = {{ - 7} \over 3} < 0\], \[x [-1, 1]\]
Do đó , diện tích cần tính là:
\[\int_{ - 1}^1 {[ - {1 \over 3}{x^3} - {x^2} + 3x - 4} ]dx = {{26} \over 3}\]
Bài 3 trang 146 SGK Giải tích 12
Cho hàm số : y = x3+ ax2+ bx + 1
a] Tìm a và b để đồ thị của hàm số đi qua hai điểm A[1, 2] và B[-2, -1]
b] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số ứng với các giá trị tìm được của a và b.
c] Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 0, x = 0, x = 1 và đồ thị [C] quanh trục hoành.
Giải
a] Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A[1, 2] và B [-2, -1] khi và chỉ khi:
\[\left\{ \matrix{
2 = 1 + a + b + 1 \hfill \cr
- 1 = - 8 + 4a - 2b + 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = 1 \hfill \cr
b = - 1 \hfill \cr} \right.\]
b] Khi a = 1, b = -1 ta có hàm số: y = x3+ x2 x + 1
_ Tập xác định: [-, + ]
_ Sự biến thiên: y = 3x2+ 2x 1
y= 0 x = -1, x = \[{1 \over 3}\]
Trên các khoảng [-, -1] và \[[{1 \over 3}, + \infty ]\], y>0 nên hàm số đồng biến
Trên khoảng \[[ - 1,{1 \over 3}]\] , y < 0 nên hàm số nghịch biến
_ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = -1, yCD= 2
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = {1 \over 3},{y_{CT}} = {{22} \over {27}}\]
_ Giới hạn tại vô cực: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \]
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị cắt trục tung tại y = 1, cắt trục hoành tại x -1, 84
c] Trong khoảng [0, 1] ta có y > 0.
Vì vậy, thể tích cần tìm là:
\[V = \pi \int_0^1 {[{x^3}} + {x^2} - x + 1{]^2}dx = {{134\pi } \over {105}}\]
Bài 4 trang 146 SGK Giải tích 12
Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình:
\[s[t] = {1 \over 4}{t^4} - {t^3} + {{{t^2}} \over 2} - 3t\]
Trong đó t được tính bằng giây và s được tính bằng \[m\].
a] Tính \[v[2], a[2]\], biết \[v[t], a[t]\] lần lượt là vận tốc, gia tốc của chuyển động đã cho
b] Tính thời điểm \[t\] mà tại đó vận tốc bằng \[0\].
Giải
a] Ta có:
\[v[t] = s[t] ={t^{3}} - 3{t^2} + t - 3\]
\[a[t] = s[t] = 3t^2 6t + 1\]
Do đó: \[v[2] = -5; a[2] = 1\]
b] \[v[t] = 0 t^3 3t^2+ t 3\]
\[ t = 3\]
Vậy tại thời điểm \[ t = 3\] thì vận tốc bằng \[0\].