Bài 1 trang 170 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Tính các giới hạn sau
a] \[\lim {{{{\left[ { - 3} \right]}^n} + {{2.5}^n}} \over {1 - {5^n}}}\];
b] \[\lim {{1 + 2 + 3 + ... + n} \over {{n^2} + n + 1}}\];
c] \[\lim \left[ {\sqrt {{n^2} + 2n + 1} - \sqrt {{n^2} + n - 1} } \right]\]
Giải:
a] - 2 ;
b] \[{1 \over 2}\] ;
c]\[{1 \over 2}\]
Bài 2 trang 170 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Tìm giới hạn của dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\]với
a] \[{u_n} = {{{{\left[ { - 1} \right]}^n}} \over {{n^2} + 1}}\];
b] \[{u_n} = {{{2^n} - n} \over {{3^n} + 1}}\]
Giải:
a] Ta có, \[\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{{{\left[ { - 1} \right]}^n}} \over {{n^2} + 1}}} \right| = {1 \over {{n^2} + 1}}\]. Đặt \[{v_n} = {1 \over {{n^2} + 1}}\] [1]
Ta có \[\lim {v_n} = \lim {1 \over {{n^2} + 1}} = \lim {{{1 \over {{n^2}}}} \over {1 + {1 \over {{n^2}}}}} = 0\]
Do đó, \[\left| {{v_n}} \right|\] có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Từ [1] suy ra, \[\left| {{u_n}} \right| = {v_n} = \left| {{v_n}} \right|\]
Vậy, \[\left| {{u_n}} \right|\]cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là \[\lim {u_n} = 0\]
b] Hướng dẫn : \[\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{{2^n} - n} \over {{3^n} + 1}}} \right| < {{{2^n}} \over {{3^n} + 1}}\]
Bài 3 trang 170 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn2,131131131 [chu kì 131] dưới dạng phân số.
Giải:
\[\eqalign{
& 2,131131131... = 2 + {{131} \over {1000}} + {{131} \over {{{1000}^2}}} + ... + {{131} \over {{{1000}^n}}} + ... \cr
& {\rm{ }} = 2 + {{{{131} \over {1000}}} \over {1 - {1 \over {1000}}}} = 2 + {{131} \over {999}} = {{2129} \over {999}}. \cr} \]
[Vì \[{{131} \over {1000}},{{131} \over {{{1000}^2}}},...,{{131} \over {{{1000}^n}}},...\] là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \[q = {1 \over {1000}}\]].
Bài 4 trang 171 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Cho dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\]xác định bởi
\[\left\{ \matrix{
{u_1} = 1 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 2}}\,\,{\rm{ với }}\,\,n \ge 1 \hfill \cr} \right.\]
a] Chứng minh rằng \[{u_n} > 0\]với mọi n.
b] Biết \[\left[ {{u_n}} \right]\]có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạnđó.
Giải:
a] Chứng minh bằng quy nạp: \[{u_n} > 0\] với mọin. [1]
- Với n = 1 ta có \[{u_1} = 1 > 0\]
- Giả sử [1] đúng với \[n = k \ge 1\]nghĩa là \[{u_k} > 0\]ta cần chứng minh [1] đúng vớin = k + 1
Ta có \[{u_{k + 1}} = {{2{u_k} + 3} \over {{u_k} + 2}}\].Vì \[{u_k} > 0\]nên \[{u_{k + 1}} = {{2{u_k} + 3} \over {{u_k} + 2}} > 0\]
- Kết luận: \[{u_n} > 0\]với mọin.
b] Đặt
\[\eqalign{
& \lim {u_n} = a \cr
& {u_{n + 1}} = {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 2}} \cr
& \Rightarrow \lim {u_{n + 1}} = \lim {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 2}} \cr
& \Rightarrow a = {{2a + 3} \over {a + 2}} \Rightarrow a = \pm \sqrt 3 \cr}\]
Vì \[{u_n} > 0\]với mọin, nên \[\lim {u_n} = a \ge 0\]. Từ đó suy ra \[\lim {u_n} = \sqrt 3 \]