Bài 1 trang 97 sgk hình học 11
Cho hình lập phương \[ABCD.EFGH\]. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây:
a]\[\overrightarrow{AB}\]và\[\overrightarrow{EG};\]
b]\[\overrightarrow{AF}\]và\[\overrightarrow{EG};\]
c] \[\overrightarrow{EG}\]và\[\overrightarrow{DH}.\]
Giải
a] \[[\widehat{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{EG}}]\] \[=[\widehat{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}}]\]\[=45^{0};\]
b] \[\widehat{[\overrightarrow{AF}, \overrightarrow{EG}]}\]\[=\widehat{[\overrightarrow{DG}, \overrightarrow{EG}]}\] \[= 60^{0};\] [Vì tam giác \[DGE\] là tam giác đều]
c] \[[\widehat{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DH}}]\] \[= 90^{0}.\] [Vì \[DH\bot [ABCD]]\]
Bài 2 trang 97 sgk hình học 11
Cho hình tứ diện \[ABCD\].
a] Chứng minh rằng:\[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0.\]
b] Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện \[ABCD\] có \[AB CD\] và \[AC DB\] thì \[AD BC\].
Giải
a]\[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}.[\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}]\]
\[\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AC}.[\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}]\]
\[\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}.[\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}].\]
Cộng từng vế ba đẳng thức trên ta được đẳng thức phải chứng minh.
b] \[AB CD \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=0,\]
\[AC DB \Rightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}=0\]
Từ đẳng thức câu a ta có:
\[\Rightarrow\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0\Rightarrow AD BC\].
Bài 3 trang 97 sgk hình học 11
a]Trong không gian nếu có hai đường thẳng \[a\] và \[b\] cùng vuông góc với đường thẳng \[c\] thì \[a\] và \[b\] có song song với nhau không?
b] Trong không gian nếu đường thẳng \[a\] vuông góc với đường thẳng \[b\] và đường thẳng \[b\] vuông góc với đường thẳng \[c\] thì \[a\] có vuông góc với \[c\] không?
Giải
a] \[a\] và \[b\] chưa chắc song song.
b] \[a\] và \[c\] chưa chắc vuông góc.
Bài 4 trang 98 sgk hình học 11
Trong không gian cho hai tam giác đều \[ABC\] và \[ABC'\] có chung cạnh \[AB\] và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi \[M, N, P, Q\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[AC, CB, B'C, C'A,\] Chứng minh rắng:
a] \[AB CC'\];
b] Tứ giác \[MNPQ\] là hình chữ nhật.
Giải
[h.3.18]
a]\[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AB}.[\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AC}]=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}]\]
\[=AB.AC'.\cos60^0-AB.AC.\cos60^0=0\]
\[\Rightarrow AB CC'\].
b] Theo giả thiết \[Q,P\] là trung điểm của \[AC',BC'\] do đó \[QP\] là đường trung bình của tam giác \[ABC'\]
Suy ra: \[QP//AB,QP={1\over 2}AB\] [1]
Chứng minh tương tự ta có:
\[PN//CC',PN={1\over 2}CC'\]
\[MN//AB,MN={1\over 2}AB\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[MN//QP,MN=QP\]. Do đó \[MNPQ\] là hình bình hành.
Ta có: \[MN//AB\], \[PN//CC'\] mà \[AB\bot CC'\] do đó \[MN\bot NP\]
Hình bình hành \[MNPQ\] có một góc vuông nên \[MNPQ\] là hình chữ nhật.