Bài 1trang 126 Giải tích 12
a] Phát biểu định nghĩa nguyên hàm của hàm số f[x] trên một khoảng
b] Nêu phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Cho ví dụ minh họa.
Giải
a] Kí hiệu \[K\] là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa đoạn của tập số thực \[K\]
Hàm số \[F[x]\] gọi là một nguyên hàm của hàm số f[x] trên khoảng \[K\] nếu \[x K\] ta có \[F[x] = f[x]\]
b] Phương pháp tính nguyên hàm toàn phần sựa trên cơ sở định lí:
Nếu hai hàm số \[u = u[x]\] và \[v = v[x]\] có đạo hàm liên tục trên K thì :
\[\int {u[x].v'[x]dx = u[x]v[x] - \int {u'[x]v[x]dx} } \] [3]
Để tính nguyên hàm toàn phần ta cần phân tích \[f[x]\] thành \[g[x].h[x]\],
- Chọn một nhân tử đặt bằng \[u\] còn nhân tử kia đặt là \[v\]
- Tìm \[u\] và \[v\],
- Áp dụng công thức trên, ta đưa tích phân ban đầu về một tích phân mới đơn giản hơn.
Ta cần chú ý các cách đặt thường xuyên như sau:
\[\int {P[x]{e^x}dx} \]
\[\int {P[x]\sin xdx} \]
\[\int P[x]cosx dx \]\[\int P[x]lnx dx \]
\[u\]
\[P[x]\]
\[P[x]\]
\[P[x]\]
\[ln[x]\]
\[dv\]
\[e^xdx\]
\[sinxdx\]
\[cosx dx\]
\[P[x] dx\]
Ví dụ:
Tìm nguyên hàm của hàm số \[f[x] = [3x^3-2x] lnx\]
Giải
Đặt \[u = lnx\]
\[\eqalign{
& \Rightarrow u' = {1 \over x} \cr
& v' = 3{x^3} - 2x \Rightarrow v = {3 \over 4}{x^4} - {x^2} \cr} \]
Suy ra:
\[\eqalign{
& \int {f[x]dx = [{3 \over 4}} {x^4} - {x^2}]\ln x - \int [{{3 \over 4}} {x^3} - x]dx \cr
& = [{3 \over 4}{x^4} - {x^2}]\ln x - {3 \over {14}}{x^4} + {1 \over 2}{x^2} + C \cr} \]
Bài 2trang 126 SGK Giải tích 12
a] Phát biểu định nghĩa tích phân của hàm số \[f[x]\] trên một đoạn
b] Nêu các tính chất của tích phân. Cho ví dụ minh họa.
Giải
a] Cho hàm số \[f[x]\] liên tục trên \[[a, b]\].
Giả sử \[F[x]\] là một nguyên hàm của \[f[x]\] trên \[[a, b]\].
Hiệu số \[F[a] F[b]\] được gọi là tích phân từ \[a\] đến \[b\] [hay tích phân xác định trên đoạn \[[a, b]\] của hàm số \[f[x]\].
Kí hiệu \[\int_a^b {f[x]dx} \]: hoặc
Dấu \[{\rm{[F[x]]}}{\left| {^b} \right._a} = F[b] F[a] [1]\]. [Công thức Newton Leibniz]
Dấu được gọi là dấu tích phân, \[a\] là cận dưới và \[b\] là cận trên của tích phân
Hàm số \[f[x]\] gọi là hàm số dưới dấu tích phân,\[ f[x] dx\] là biểu thức dưới dấu tích phân, \[dx\] chỉ biến số lấy tích phân là \[x\].
b]
Tính chất 1: \[\int_a^b {k.f[x]dx = k\int_a^b {f[x]dx} } \][ \[k\] là hằng số]
Tính chất 2: \[\int_a^b {{\rm{[f[x]}} \pm {\rm{g[x]]dx}} = \int_a^b {f[x]dx \pm } } \int_a^b {g[x]dx} \]
Tính chất 3: \[\int_a^b {f[x]dx = \int_a^c {f[x]dx + \int_c^b {f[x]dx} } } \][\[a < c < b\]]
Ví dụ:
a] Biết \[\int_5^9 {f[x]dx = 2.} \]Hãy tính \[\int_5^9 {[ - 5].f[x]dx} \]
b] Biết \[\int_5^9 {f[x]dx = 2.} \]và \[\int_5^9 {g[x]dx = 4} \]. Hãy tính \[\int_5^0 {{\rm{[f[x] + g[x]]dx}}} \]
c] Biết \[\int_5^9 {f[x]dx = 2.} \]và \[\int_9^{10} {f[x]dx = 3} \]. Hãy tính \[\int_5^{10} {f[x]dx} \]
Giải
a] Ta có: \[\int_5^9 {[ - 5].f[x]dx = [ - 5]\int_5^9 {f[x]dx = [ - 5].2 = - 10} } \]
b] Ta có: \[\int_5^9 {{\rm{[f[x] + g[x]]dx}} = \int_5^9 {f[x]dx + \int_5^9 {g[x]dx = 2 + 4 = 6} } } \]
c] Ta có: \[\int_5^{10} {f[x]dx = \int_5^9 {f[x]dx + \int_9^{10} {f[x]dx = 2 + 3 = 5} } } \]
Bài 3trang 126 SGK Giải tích 12
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a] \[f[x] = [x - 1][1 - 2x][1 - 3x]\]
b] \[f[x] = sin4x cos^2 2x\]
c] \[f[x] = {1 \over {1 - {x^2}}}\]
d] \[f[x] = [e^x-1]^3\]
Giải
a] Ta có:
\[f\left[ x \right]= [ - 2{x^2} + 3x-1]\left[ {1 - 3x} \right]\]
\[ =6{x^3}-11{x^2} +6x-1\]
Vậy nguyên hàm của \[f[x]\] là \[F\left[ x \right] = {3 \over 2}{x^4} - {{11} \over 3}{x^3} + 3{x^2} - x + C\]
b] Ta có:
\[f\left[ x \right] = \sin 4x.co{s^2}2x = \sin 4x.{{1 + \cos 4x} \over 2}\]
\[= {1 \over 2}[\sin 4x + \sin 4x.cos4x]\]
\[= {1 \over 2}[\sin 4x + {1 \over 2}\sin 8x] \]
Vậy nguyên hàm của \[f[x]\] là \[F[x] = - {1 \over 8}\cos 4x - {1 \over {32}}\cos 8x + C\]
c] Ta có:
\[f[x] = {1 \over {1 - {x^2}}} = {1 \over 2}[{1 \over {1 - x}} + {1 \over {1 + x}}]\]
Vậy nguyên hàm của f[x] là \[F[x] = {1 \over 2}\ln |{{1 + x} \over {1 - x}}| + C\]
d] Ta có:
\[f[x] ={e^{3x}}-3{e^{2x}} + 3{e^x}-1\]
Vậy nguyên hàm của \[f[x]\] là \[F[x] = {1 \over 3}{e^{3x}} - {3 \over 2}{e^{2x}} + 3{e^x} - x + C\]