Bài 1 trang 60 sgk giải tích 12
Tìm tập xác định của các hàm số:
a] y=\[\left [ 1-x \right ]^{\frac{-1}{3}}\];
b] y=\[\left [ 2-x^{2} \right ]^{\frac{3}{5}}\];
c] y=\[\left [ x^{2}-1 \right ]^{-2}\];
d] y=\[\left [ x^{2}-x-2\right ]^{\sqrt{2}}\].
Giải
a] \[y= \left [ 1-x \right ]^{\frac{-1}{3}}\]xác định khi \[1-x > 0 x< 1\]. Tập xác định là \[[-; 1]\].
b] \[y= \left [ 2-x^{2} \right ]^{\frac{3}{5}}\]xác định khi \[2-x^2> 0 \]
-\[\sqrt{2} < x 0 x 2\].
Tập xác định là: \[[-;-1] [2; +]\].
Bài 2 trang 61 sgk giải tích 12
Tìm các đạo hàm của các hàm số:
a] \[y= \left [ 2x^{2} -x+1\right ]^{\frac{1}{3}}\];
b] \[y= \left [ 4-x-x^{2}\right ]^{\frac{1}{4}}\];
c] \[y= \left [ 3x+1\right ]^{\frac{\pi }{2}}\];
d] \[y= \left [ 5-x\right ]^{\sqrt{3}}\].
Giải
a] \[y^{'}=\frac{1}{3}\left [ 2x^{2} -x+1\right ]^{'}\left [2x^{2}-x+1 \right ]^{\frac{1}{3}-1}\]= \[\frac{\left [ 4x-1\right ]\left [ 2x^{2}-x+1 \right ]^{\frac{-2}{3}}}{3}\].
b]\[y^{'}=\frac{1}{4}\left [ 4-x-x^{2} \right ]^{'}\left [ 4-x-x^{2} \right ]^{\frac{1}{4}-1}\]=\[\frac{1}{4}\left [ -2x-1 \right ]\left [ 4-x-x^{2} \right ]^{\frac{-3}{4}}\].
c] \[y^{'}\]=\[\frac{\pi }{2}\left [ 3x+1 \right ]^{'}\left [ 3x+1 \right ]^{\frac{\pi }{2}-1}\]=\[\frac{3\pi }{2}\left [ 3x+1 \right ]^{\frac{\pi }{2}-1}\].
d]\[y^{'}\]=\[\sqrt{3}\left [ 5-x \right ]^{'}\left [ 5-x \right ]^{\sqrt{3}-1}\]=\[-\sqrt{3}\left [ 5-x \right ]^{\sqrt{3}-1}\].
Bài 3 trang 61 sgk giải tích 12
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a] \[y=x^{4\over3}\] ;
b] \[y=x^{-3}\].
Giải
a] Hàm số\[y=x^{4\over3}\]
Tập xác định: \[\mathbb R\].
Sự biến thiên:
\[y' = {4 \over 3}{x^{{1 \over 3}}} \]
- Hàm số nghịch biến trên khoảng \[[-\infty;0]\], đồng biến trên khoảng \[[0;+\infty]\]
- Giới hạn đặc biệt:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \].
- Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
- Bảng biến thiên
Đồ thị[ hình bên]. Đồ thị hàm số qua \[[1;1]\], \[[2;\root 3 \of {{2^4}} ]\].
b] \[y = {x^{ - 3}}\]
Tập xác định: \[D=\mathbb \backslash {\rm{\{ }}0\} \].
Sự biến thiên:
\[y' = - 3{x^{ - 4}} < 0,\forall x \in D\]
- Hàm nghich biến trong khoảng \[[-;0]\] và \[[0; +]\].
- Giới hạn đặc biệt:
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = - \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 0 \cr }\]
- Đồ thị hàm số nhận trục tung làm tiệm cận đứng, trục hoành làm tiệm cận ngang.
- Bảng biến thiên
Đồ thị qua \[[-1;-1]\], \[[1;1]\], \[\left[ {2;{1 \over 8}} \right]\], \[\left[ {-2;{-1 \over 8}} \right]\]. Hàm số đồ thị đã cho là hàm số lẻ nên đối xứng qua gốc tọa độ.