Bài 1 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho mp \[[P]\] và điểm \[A\] không thuộc \[[P]\]. Chứng minh rằng mọi mặt cầu đi qua \[A\] và có tâm nằm trên \[[P]\] luôn luôn đi qua hai điểm cố định.
Giải
Lấy điểm \[O\] nằm trên mp \[[P]\]. Gọi \[[S]\] là mặt cầu đi qua \[A\] có tâm \[O\].
Gọi \[A\] là điểm đối xứng của \[A\] qua mp \[[P]\] ta có \[OA = OA = R\] nên \[[S]\] đi qua \[A\]. Vậy mặt cầu \[[S]\] luôn đi qua hai điểm cố định \[A\] và \[A\].
Bài 2 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao
Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \[S.ABC\], biết \[SA = SB = SC = a\], \[\widehat {ASB} = {60^0},\widehat {BSC} = {90^0},\widehat {CSA} = {120^0}\].
Giải
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \[SAB, SAC\] ta có:
\[\eqalign{
& A{B^2} = S{A^2} + S{B^2} - 2SA.SB.\cos {60^0} \cr
& = {a^2} + {a^2} - 2{a^2}.{1 \over 2} = {a^2} \Rightarrow AB = a \cr
& A{C^2} = S{A^2} + S{C^2} - 2SA.SC.\cos {120^0} \cr
& = {a^2} + {a^2} - 2{a^2}\left[ { - {1 \over 2}} \right] = 3{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 3 \cr} \]
Trong tam giác vuông \[SBC\] có: \[B{C^2} = S{B^2} + S{C^2} = 2{a^2} \Rightarrow BC = a\sqrt 2 \]
Ta có: \[A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} \Rightarrow \Delta ABC\]vuông tại \[B\].
Gọi \[H\] là trung điểm của \[AC\] thì \[H\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vì \[SA = SB = SC\] nên \[SH \bot mp\left[ {ABC} \right]\]
Và \[S{H^2} = S{C^2} - H{C^2} = {a^2} - {\left[ {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right]^2} = {{{a^2}} \over 4} \]
\[\Rightarrow SH = {a \over 2}\]
Gọi \[O\] là điểm đối xứng của \[S\] qua \[H\] thì \[SO = OA = OB = OC = a\] nên mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \[S.ABC\] có tâm \[O\] và bán kính \[R = a\].
Bài 3 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho hai đường tròn \[[O; r]\] và \[[O; r]\] cắt nhau tại hai điểm \[A, B\] và lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt \[[P]\] và \[[P]\].
a] Chứng minh rằng có mặt cầu \[[S]\] đi qua hai đường tròn đó.
b] Tìm bán kính \[R\] của mặt cầu \[[S]\] khi \[r = 5, r' = \sqrt {10} \], \[AB = 6\], \[{\rm{OO}}' = \sqrt {21} \].
Giải
a] Gọi \[M\] là trung điểm của \[AB\] ta có: \[OM \bot AB\] và \[O'M \bot AB \Rightarrow AB \bot \left[ {OO'M} \right]\]
Gọi \[\Delta ,\,\Delta '\]lần lượt là trục của đường tròn \[[O; r]\] và \[[O; r]\] thì \[AB \bot \Delta \,\,,\,\,AB \bot \Delta '\]. Do đó \[\Delta ,\,\Delta '\] cùng nằm trong mp \[[OOM]\].
Gọi \[I\] là giao điểm của \[\Delta \]và \[\Delta '\]thì \[I\] là tâm của mặt cầu \[[S]\] đi qua hai đường tròn \[[O; r]\] và \[[O; r]\] và \[S\] có bán kính \[R = IA\].
b] Ta có: \[MA = MB = 3\,\,,\,\,OA = r = 5,\,\,OA' = r' = \sqrt {10} \]
\[\eqalign{
& OM = \sqrt {O{A^2} - A{M^2}} = \sqrt {25 - 9} = 4 \cr
& O'M = \sqrt {O'{A^2} - A{M^2}} = \sqrt {10 - 9} = 1 \cr} \]
Áp dụng định lí Cosin trong \[\Delta {\rm{OMO'}}\]ta có:
\[\eqalign{
& OO{'^2} = O{M^2} + O'{M^2} - 2OM.O'M.\cos \widehat {OMO'} \cr
& \Rightarrow 21 = 16 + 1 - 2.4.1.cos\widehat {OMO'} \cr&\Rightarrow \cos \widehat {OMO'} = - {1 \over 2} \cr
& \Rightarrow \widehat {OMO'} = {120^0},\,\,\widehat {OIO'} = {60^0} \cr} \]
Áp dụng định lí Côsin trong tam giác \[OMO\] ta có:
\[\eqalign{
& M{O^2} = MO{'^2} + OO{'^2} - 2MO'.OO'.cos\widehat {MO'O} \cr
& \Rightarrow \cos \widehat {MO'O} = {{\sqrt {21} } \over 7} \Rightarrow \sin \widehat {OO'I} = {{\sqrt {21} } \over 7} \cr} \]
[Vì \[\widehat {MO'O} + \widehat {OO'I} = {90^0}\]]
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \[OIO\] ta có:
\[{{OI} \over {\sin \widehat {OO'I}}} = {{OO'} \over {\sin \widehat {OIO'}}} \Leftrightarrow {{OI} \over {{{\sqrt {21} } \over 7}}} = {{\sqrt {21} } \over {{{\sqrt 3 } \over 2}}} \Leftrightarrow OI = 2\sqrt 3 \]
Vậy \[R = \sqrt {O{A^2} + O{I^2}} = \sqrt {25 + 12} = \sqrt {37} \]