Bài 1 trang 9 sách sgk giải tích 12
Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a] \[y = 4 + 3x - x^2\]; b] \[y ={1 \over 3}x^3\]+ \[3x^2-7x - 2\] ;
c] \[y = x^4\]- \[2x^2\]+\[ 3\] ; d] \[y = -x^3\]+ \[x^2\]- \[5\].
Giải:
1. a] Tập xác định : \[D =\mathbb R\];
\[y' = 3 - 2x=> y' = 0 x =\] \[{3 \over 2}\].
Bảng biến thiên :
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left[ { - \infty ;{3 \over 2}} \right]\]; nghịch biến trên khoảng \[\left[ { {3 \over 2}};+\infty \right]\]
b] Tập xác định \[D=\mathbb R\];
\[y'= x^2\]+\[6x - 7 \Rightarrow y' = 0 x = 1, x = -7\].
Bảng biến thiên :
Hàm số đồng biến trên các khoảng \[[- ; -7], [1 ; +]\] ; nghịch biến trên các khoảng \[[-7 ; 1]\].
c] Tập xác định : \[D=\mathbb R\].
\[y' = 4x^3\]-\[4x = 4x[x^2-1]\] \[\Rightarrow y' = 0 x = -1, x = 0, x = 1\].
Bảng biến thiên :
Hàm số đồng biến trên các khoảng \[[-1 ; 0], [1 ; +]\] ; nghịch biến trên các khoảng \[[- ; -1], [0 ; 1]\].
d] Tập xác định :\[ D=\mathbb R\].
\[y' = -3x^2\]+\[ 2x \Rightarrow y' = 0 x = 0, x =\] \[{2 \over 3}\].
Bảng biến thiên :
Hàm số đồng biến trên khoảng \[[ 0 ; {2 \over 3} ]\] ; nghịch biến trên các khoảng \[[- ; 0]\], \[[{2 \over 3}; +]\].
Bài 2 trang 10 sách sgk giải tích 12
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
a] \[y=\frac{3x+1}{1-x}\]; b] \[y=\frac{x^{2}-2x}{1-x}\];
c] \[y=\sqrt{x^{2}-x-20}\]; d] \[y=\frac{2x}{x^{2}-9}\].
Giải
a] Tập xác định : \[D =\mathbb R\setminus\]{ 1 }.
\[y'=\frac{4}{[1-x]^{2}}\]> 0, \[x \neq 1\].
Hàm số đồng biến trên các khoảng : \[[- ; 1], [1 ; +]\].
b] Tập xác định : \[D =\mathbb R\setminus\]{ 1 }.
\[y'=\frac{-x^{2}+2x-2}{[1-x]^{2}}< 0\], \[x \neq 1\].
Hàm số nghịch biến trên các khoảng: \[ [- ; 1], [1 ; +]\].
c] Tập xác định :\[ D = [- ; -4] [5 ; +]\].
\[y'=\frac{2x-1}{2\sqrt{x^{2}-x-20}}\] \[x [- ; -4] [5 ; +]\].
Với \[x [- ; -4]\] thì \[y < 0\]; với \[x [5 ; +]\] thì \[y > 0\]. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \[[- ; -4]\] và đồng biến trên khoảng \[[5 ; +]\].
d] Tập xác định : \[D =\mathbb R\setminus\]{ -3 ; 3 }.
\[y'=\frac{-2[x^{2}+9]}{\left [x^{2}-9 \right ]^{2}} < 0, x \neq ±3\].
Hàm số nghịch biến trên các khoảng : \[[- ; -3], [-3 ; 3], [3 ; +]\].
Bài 3 trang 10 sách sgk giải tích 12
Chứng minh rằng hàm số \[y={{1 - {x^2}} \over {{{[{x^2} + 1]}^2}}}\]đồng biến trên khoảng \[[-1 ; 1]\] và nghịch biến trên các khoảng \[[ - \infty ; - 1]\]và \[[1 ; +]\].
Giải:
Tập xác định : \[D=\mathbb R\].
\[y' ={{1 - {x^2}} \over {{{[{x^2} + 1]}^2}}}\]\[\Rightarrow y' = 0x=-1\] hoặc \[x=1\].
Bảng biến thiên :
Vậy hàm sốđồng biến trên khoảng \[[-1 ; 1]\]; nghịch biến trên các khoảng \[[-; -1], [1 ; +]\].