Bài 16 trang 193 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Cho\[\cos \alpha = {1 \over 3}\] tính \[sin[\alpha + {\pi \over 6}] - \cos [\alpha - {{2\pi } \over 3}]\]
Gợi ý làm bài
Ta có:
\[sin[\alpha + {\pi \over 6}] - \cos [\alpha - {{2\pi } \over 3}]\]
= \[sin\alpha c{\rm{os}}{\pi \over 6} + \cos \alpha \sin {\pi \over 6} - \cos \alpha \cos {{2\pi } \over 3} - \sin \alpha \sin {{2\pi } \over 3}\]
\[ = {{\sqrt 3 } \over 2}sin\alpha + {1 \over 2}\cos \alpha + {1 \over 2}\cos \alpha - {{\sqrt 3 } \over 2}\sin \alpha \]
\[ = \cos \alpha = {1 \over 3}\]
Bài 17 trang 193 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Cho\[\sin \alpha = {8 \over {17}},\sin \beta = {{15} \over {17}}\] với\[0 < \alpha < {\pi \over 3},0 < \beta < {\pi \over 2}\].Chứng minh rằng\[\alpha + \beta = {\pi \over 2}\]
Gợi ý làm bài
Ta có:
\[\eqalign{
& \cos \alpha = \sqrt {1 - {{64} \over {289}}} = \sqrt {{{225} \over {289}}} = {{15} \over {17}}; \cr
& \cos \beta = \sqrt {1 - {{225} \over {289}}} = \sqrt {{{64} \over {289}}} = {8 \over {17}} \cr} \]
Do đó:
\[\sin [\alpha + \beta ] = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \]
\[{8 \over {17}}.{8 \over {17}} + {{15} \over {17}}.{{15} \over {17}} = {{289} \over {289}} = 1\]
Vì\[0 < \alpha < {\pi \over 3},0 < \beta < {\pi \over 2}\] nên từ đó suy ra\[\alpha + \beta = {\pi \over 2}\]
Bài 18 trang 193 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Không dùng bảng số và máy tính, chứng minh rằng
a] \[\sin {20^0} + 2\sin {40^0} - \sin {100^0} = \sin {40^0}\]
b] \[{{\sin [{{45}^0} + \alpha ] - c{\rm{os[}}{{45}^0} + \alpha ]} \over {\sin [{{45}^0} + \alpha ] + c{\rm{os[}}{{45}^0} + \alpha ]}} = \tan \alpha \]
c] \[{{3{{\cot }^2}{{15}^0} - 1} \over {3 - c{\rm{o}}{{\rm{t}}^2}{{15}^0}}} = - \cot {15^0}\]
d]\[\sin {200^0}\sin {310^0} + c{\rm{os34}}{{\rm{0}}^0}{\rm{cos5}}{{\rm{0}}^0}{\rm{ = }}{{\sqrt 3 } \over 2}\]
Gợi ý làm bài
a]
\[\eqalign{
& \sin {20^0} + 2\sin {40^0} - \sin {100^0} \cr
& = [\sin {20^0} - \sin {100^0}] + 2\sin {40^0} \cr} \]
=\[2\cos {60^0}\sin [ - {40^0}] + 2\sin {40^0}\]
=\[ - \sin {40^0} + 2\sin {40^0} = \sin {40^0}\]
b]
\[\eqalign{
& {{\sin [{{45}^0} + \alpha ] - c{\rm{os[}}{{45}^0} + \alpha ]} \over {\sin [{{45}^0} + \alpha ] + c{\rm{os[}}{{45}^0} + \alpha ]}} \cr
& = {{\sin [{{45}^0} + \alpha ] - \sin {\rm{[}}{{45}^0} - \alpha ]} \over {\sin [{{45}^0} + \alpha ] + \sin {\rm{[}}{{45}^0} - \alpha ]}} \cr} \]
=\[{{2\cos {{45}^0}\sin \alpha } \over {2\sin {{45}^0}\cos \alpha }} = {{\sqrt 2 \sin \alpha } \over {\sqrt 2 \cos \alpha }} = \tan \alpha \]
c]
\[{{3{{\cot }^2}{{15}^0} - 1} \over {3 - c{\rm{o}}{{\rm{t}}^2}{{15}^0}}} = {{{{\cot }^2}{{30}^0}{{\cot }^2}{{15}^0} - 1} \over {c{\rm{o}}{{\rm{t}}^2}{{30}^0} - {{\cot }^2}{{15}^0}}}\]
=\[{{\cot {{30}^0}\cot {{15}^0} + 1} \over {c{\rm{ot}}{{30}^0} - \cot {{15}^0}}}.{{\cot {{30}^0}\cot {{15}^0} - 1} \over {c{\rm{ot}}{{30}^0} + \cot {{15}^0}}}\]
Mặt khác ta có
\[\cot [\alpha + \beta ] = {{\cos [\alpha + \beta ]} \over {\sin [\alpha + \beta ]}} = {{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta } \over {\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta }}\]
Chia cả tử và mẫu của biểu thức cho\[\sin \alpha \sin \beta \] ta được
\[\cot [\alpha + \beta ] = {{\cot \alpha \cot \beta - 1} \over {\cot \alpha + \cot \beta }}\]
Tương tự
\[\cot [\alpha - \beta ] = {{\cot \alpha \cot \beta + 1} \over {\cot \beta - \cot \alpha }}\]
Do đó
\[A = \cot [{15^0} - {30^0}]\cot [{15^0} + {30^0}] = - \cot {15^0}\]
d]
\[\sin {200^0}\sin {310^0} + c{\rm{os34}}{{\rm{0}}^0}{\rm{cos5}}{{\rm{0}}^0}\]
=\[\sin [{180^0} + {20^0}]\sin [{360^0} - {50^0}] + c{\rm{os[36}}{{\rm{0}}^0}{\rm{ - 2}}{{\rm{0}}^0}{\rm{]cos5}}{{\rm{0}}^0}\]
\[ = [ - \sin {20^0}][ - \sin {50^0}] + \cos {20^0}\cos {50^0}\]
\[ = \cos {50^0}\cos {20^0} + \sin {50^0}\sin {20^0}\]
=\[\cos [{50^0} - {20^0}] = {{\sqrt 3 } \over 2}\]