Câu 10 trang 84 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 2
Cho hình thang ABCD [AB // CD]. Đường thẳng song song với đáy AB cắt các cạnh bên và các đường chéo AD, BD, AC và BC theo thứ tự tại các điểm M, N, P, Q [h.9]
Chứng minh rằng MN = PQ.
Giải:
Trong tam giác ADB, ta có: MN // AB [gt]
Suy ra: \[{{DN} \over {DB}} = {{MN} \over {AB}}\] [Hệ quả định lí Ta-lét ] [1]
Trong tam giác ACB, ta có: PQ // AB [gt]
Suy ra: \[{{CQ} \over {CB}} = {{PQ} \over {AB}}\] [Hệ quả định lí Ta-lét ] [2]
Lại có: NQ // AB [gt]
AB // CD [gt]
Suy ra: NQ // CD
Trong tam giác BDC, ta có: NQ // CD [chứng minh trên]
Suy ra: \[{{DN} \over {DB}} = {{CQ} \over {CB}}\] [Định lí Ta-lét ] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: \[{{MN} \over {AB}} = {{PQ} \over {AB}}\] hay MN = PQ.
Câu 11 trang 85 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 2
Cho hình thang ABCD [AB // CD]. Trên cạnh bên AD lấy điểm E sao cho \[{{AE} \over {ED}} = {p \over q}\] . Qua E kẻ đường thẳng song song với các đáy và cắt BC tại F
Chứng minh rằng: \[EF = {{p.CD + q.AB} \over {p + q}}\]
HD: Kẻ thêm đường chéo AC, cắt EF ở I, rồi áp dụng hệ quả định lí Ta-lét vào các tam giác ADC và CAB.
Giải:
Kẻ đường chéo AC cắt EF tại I.
Trong tam giác AEC, ta có: EI // CD
Suy ra: \[{{AE} \over {AD}} = {{EI} \over {CD}}\] [Hệ quả định lí Ta-lét ]
Suy ra: \[EI = {{AE} \over {AD}}.CD\] [1]
Lại có: \[{{AE} \over {ED}} = {p \over q}\] [gt]
Suy ra: \[{{AE} \over {AE + ED}} = {p \over {p + q}}\]
Suy ra: \[{{AE} \over {AD}} = {p \over {p + q}}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[EI = {p \over {p + d}}.CD\]
Trong tam giác ABC, ta có: IF // AB
Suy ra: \[{{BF} \over {FC}} = {{AI} \over {IC}}\] [Định lí Ta-lét ] [3]
Trong tam giác ADC, ta có: EI // CD
Suy ra: \[{{AE} \over {ED}} = {{AI} \over {IC}}\] [Định lí Ta-lét ] [4]
Từ [3] và [4] suy ra: \[{{BF} \over {FC}} = {{AE} \over {ED}} = {p \over q}\]
Trong tam giác ABC, ta có: IF // BC
Suy ra: \[{{IF} \over {AB}} = {{CF} \over {CB}}\] [Hệ quả của định lí Ta-lét]
Suy ra: \[IF = {{CF} \over {CB}}.AB\] [5]
Ta có: \[{{BF} \over {CF}} = {p \over q}\] [cmt]
Suy ra: \[{{CF} \over {BF}} = {q \over p} \Rightarrow {{CF} \over {CF + BF}} = {q \over {p + q}} \Rightarrow {{CF} \over {CB}} = {q \over {p + q}}\] [6]
Từ [5] và [6] suy ra: \[IF = {q \over {p + q}}.AB\]
Vậy: \[EF = EI + {\rm I}F = {p \over {p + q}}.CD + {q \over {p + d}}.AB = {{p.CD + q.AB} \over {p + q}}\]
Câu 12 trang 85 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 2
Hình thang cân ABCD [AB // CD] có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O [h.11]. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BD và AC. Cho biết MD = 3MO, đáy lớn CD = 5,6cm.
a. Tính độ dài đoạn thẳng MN và đáy nhỏ AB.
b. So sánh độ dài đoạn thẳng MN với nửa hiệu các độ dài của CD và AB.
Giải:
a. Vì ABCD là hình thang cân có AB // CD nên:
AC = BD [1]
Xét ADC và BCD, ta có:
AC = BD [chứng minh trên ]
AD = BC [ABCD cân]
CD cạnh chung
Suy ra: ADC = BCD [c.c.c]
Suy ra: \[\widehat {ACD} = \widehat {BDC}\]
Hay \[\widehat {OCD} = \widehat {ODC}\]
Suy ra tam giác OCD cân tại O
Suy ra: [tính chất tam giác cân] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: OA = OB
Lại có: MD = 3MO [gt] NC = 3NO
Trong tam giác OCD, ta có: \[{{MO} \over {MD}} = {{NO} \over {NC}} = {1 \over 3}\]
Suy ra: MN // CD [Định lí đảo của định lí Ta-lét ]
Ta có: OD = OM + MD = OM + 3OM = 4OM
Trong tam giác OCD, ta có: MN // CD
Suy ra: \[{{OM} \over {OD}} = {{MN} \over {CD}}\] [Hệ quả định lí Ta-lét ]
Suy ra: \[{{MN} \over {CD}} = {{OM} \over {4OM}} = {1 \over 4}\]
Suy ra: \[MN = {1 \over 4}CD = {1 \over 4}.5,6 = 1,4\] [cm]
Ta có: MB = MD [gt]
Suy ra: MB = 3OM hay OB = 2OM
Lại có: AB // CD [gt], suy ra: MN // AB
Trong tam giác OAB, ta có: MN // AB
Suy ra: \[{{OM} \over {OB}} = {{MN} \over {AB}}\] [Hệ quả định lí Ta-lét ]
Suy ra: \[{{MN} \over {AB}} = {{OM} \over {2OM}} = {1 \over 2}\]
Vậy AB = 2MN = 2.1,4 = 2,8 [cm]
b. Ta có: \[{{CD - AB} \over 2} = {{5,6 - 2,8} \over 2} = {{2,8} \over 2} = 1,4\] [cm]
Vậy MN\[ = {{CD - AB} \over 2}\]
Câu 13 trang 85 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 2
Cho hình thang ABCD [AB // CD, AB < CD]. Gọi trung điểm của các đường chéo AC, BD thứ tự là N và M. Chứng minh rằng:
a. MN// AB;
b. \[MN = {{CD - AB} \over 2}\]
Giải:
a. Gọi P là trung điểm của AD, nối PM.
Trong tam giác DAB, ta có:
\[{{PA} \over {AD}} = {1 \over 2};{{BM} \over {BD}} = {1 \over 2}\]
Suy ra: \[{{PA} \over {AD}} = {{BM} \over {BD}}\]
Suy ra: PM // AB [Định lí đảo của định lí Ta-lét] [1]
Trong tam giác ACD, ta có: \[{{AP} \over {AD}} = {1 \over 2};{{AN} \over {AC}} = {1 \over 2}\]
Suy ra: \[{{AP} \over {AD}} = {{AN} \over {AC}}\]
Suy ra: PN // CD [ Định lí đảo định lí Ta-lét] [2]
Từ [1] và [2] và theo tiên đề Ơ-clít suy ra P, M, N thẳng hàng.
Vậy MN // CD hay MN // AB.
b. Vì PM là đường trung bình của tam giác DAB nên:
\[PM = {{AB} \over 2}\] [tính chất đường trung bình tam giác]
Vì PN là đường trung bình của tam giác ADC nên:
\[PN = {{AB} \over 2}\] [tính chất đường trung bình tam giác]
Mà PN = PM + MN
Suy ra: MN = PN PM = \[{{CD} \over 2} - {{AB} \over 2} = {{CD - AB} \over 2}\]