Bài 10 trang 189 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Biết \[\sin \alpha = {3 \over 4}\] và \[{\pi \over 2} < \alpha < \pi \]. Tính
a]\[A = {{2\tan \alpha - 3\cot \alpha } \over {\cos \alpha + tan\alpha }}\]
b]\[B = {{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha + {{\cot }^2}\alpha } \over {\tan \alpha - \cot \alpha }}\]
Gợi ý làm bài
a]\[{\pi \over 2} < \alpha < \pi = > \cos \alpha < 0\]
Ta có:\[\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {9 \over {16}}} = - {{\sqrt 7 } \over 4}\]
\[\tan \alpha = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} = - {3 \over {\sqrt 7 }},\cot \alpha = - {{\sqrt 7 } \over 3}\]
Vậy\[A = {{ - {6 \over {\sqrt 7 }} + \sqrt 7 } \over { - {{\sqrt 7 } \over 4} - {3 \over {\sqrt 7 }}}} = - {4 \over {19}}\]
b]\[B = {{{7 \over {16}} + {7 \over 9}} \over { - {3 \over {\sqrt 7 }} + {{\sqrt 7 } \over {\sqrt 7 }}}} = {{{{7 \times 25} \over {144}}} \over { - {2 \over {3\sqrt 7 }}}} = - {{175\sqrt 7 } \over {96}}\]
Bài 11 trang 189 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Cho\[\tan \alpha - 3\cot \alpha = 6\] và \[\pi < \alpha < {{3\pi } \over 2}\]. Tính
a] \[\sin \alpha + \cos \alpha \]
b]\[{{2\sin \alpha - \tan \alpha } \over {{\rm{cos}}\alpha {\rm{ + cot}}\alpha }}\]
Gợi ý làm bài
Vì\[\pi < \alpha < {{3\pi } \over 2}\]
Nên\[\cos \alpha < 0,\sin \alpha < 0\] và\[\tan \alpha > 0\]
Ta có: \[\tan \alpha - 3\cot \alpha = 6 \Leftrightarrow \tan \alpha - {3 \over {\tan \alpha }} - 6 = 0\]
\[ \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha - 6\tan \alpha - 3 = 0\]
Vì\[\tan \alpha > 0\] nên \[\tan \alpha = 3 + 2\sqrt 3\]
a]\[{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = {1 \over {1 + {{\tan }^2}\alpha }} = {1 \over {22 + 12\sqrt 3 }}\]
Suy ra\[{\rm{cos}}\alpha {\rm{ = - }}{1 \over {\sqrt {22 + 12\sqrt 3 } }},\sin \alpha = - {{3 + 2\sqrt 3 } \over {\sqrt {22 + 12\sqrt 3 } }}.\]
Vậy\[\sin \alpha + c{\rm{os}}\alpha {\rm{ = - }}{{4 + 2\sqrt 3 } \over {\sqrt {22 + 12\sqrt 3 } }}\]
\[\eqalign{
& {{2\sin \alpha - \tan \alpha } \over {{\rm{cos}}\alpha {\rm{ + cot}}\alpha }} = {{\sin \alpha [2 - {1 \over {{\rm{cos}}\alpha }}]} \over {{\rm{cos[1 + }}{1 \over {\sin \alpha }}]}} \cr
& = \tan \alpha .{{2\cos \alpha - 1} \over {{\rm{cos}}\alpha }}.{{\sin \alpha } \over {\sin \alpha + 1}} = {\tan ^2}\alpha .{{2\cos \alpha - 1} \over {\sin \alpha + 1}} \cr} \]
\[\eqalign{
& {[3 + 2\sqrt 3 ]^2}.{{ - {2 \over {\sqrt {22 + 12\sqrt 3 } }}} \over { - {{3 + 2\sqrt 3 } \over {\sqrt {22 + 12\sqrt 3 } }} + 1}} \cr
& = [21 + 12\sqrt 3 ].{{2 + \sqrt {22 + 12\sqrt 3 } } \over {3 + 2\sqrt 3 - \sqrt {22 + 12\sqrt 3 } }} \cr} \]
Bài 12 trang 189 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Chứng minh các đẳng thức
a]\[{{\tan \alpha - \tan \beta } \over {{\rm{cot}}\beta {\rm{ - cot}}\alpha }} = \tan \alpha \tan \beta\]
b]\[\tan {100^0} + {{\sin {{530}^0}} \over {1 + \sin {{640}^0}}} = {1 \over {\sin {{10}^0}}}\]
c]\[2[{\sin ^6}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^6}\alpha ] + 1 = 3[{\sin ^4}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha ]\]
Gợi ý làm bài
a]
\[\eqalign{
& {{\tan \alpha - \tan \beta } \over {{\rm{cot}}\beta {\rm{ - cot}}\alpha }} = {{\tan \alpha - \tan \beta } \over {{1 \over {\tan \beta }} - {1 \over {\tan \alpha }}}} \cr
& = {{\tan \alpha - \tan \beta } \over {{{\tan \alpha - \tan \beta } \over {tan\alpha \tan \beta }}}} = \tan \alpha \tan \beta \cr} \]
b]
\[\eqalign{
& \tan {100^0} + {{\sin {{530}^0}} \over {1 + \sin {{640}^0}}} \cr
& = \tan [{90^0} + {10^0}] + {{\sin [{{360}^0} + {{170}^0}]} \over {1 + \sin [{{720}^0} - {{80}^0}]}} \cr} \]
\[\eqalign{
& = - \cot {10^0} + {{\sin {{170}^0}} \over {1 - \sin {{80}^0}}} \cr
& = - {{\cos {{10}^0}} \over {\sin {{10}^0}}} + {{\sin {{10}^0}} \over {1 - c{\rm{os1}}{{\rm{0}}^0}}} \cr} \]
\[ = {{ - \cos {{10}^0} + {{\cos }^2}{{10}^0} + {{\sin }^2}{{10}^0}} \over {\sin {{10}^0}[1 - c{\rm{os1}}{{\rm{0}}^0}]}} = {1 \over {\sin {{10}^0}}}\]
\[\eqalign{
& c]2[{\sin ^6}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^6}\alpha ] + 1 \cr
& = 2[{\sin ^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x][{\sin ^4}x - {\sin ^2}x{\cos ^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x] + 1 \cr
& = 2[{\sin ^4}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x] + {[{\sin ^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x]^2} - 2{\sin ^{^2}}x{\cos ^2}x \cr
& = 2[{\sin ^4}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x] + [{\sin ^4}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x] \cr
& = 3[{\sin ^4}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha ] \cr} \]