Bài 1.1 trang 153 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Biết rằng dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\]có giới hạn là 0. Giải thích vì sao dãy số \[\left[ {{v_n}} \right]\]với \[{v_n} = \left| {{u_n}} \right|\]cũng có giới hạn là 0. Chiều ngược lại có đúngkhông ?
Giải:
Vì \[\left[ {{u_n}} \right]\]có giới hạn là 0 nên \[\left| {{u_n}} \right|\]có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳý, kể từ một số hạng nàođó trởđi.
Mặt khác, \[\left| {{v_n}} \right| = \left| {\left| {{u_n}} \right|} \right| = \left| {{u_n}} \right|\].Do đó, \[\left| {{v_n}} \right|\]cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Vậy, \[\left[ {{v_n}} \right]\]có giới hạn là 0.
[Chứng minh tương tự, ta có chiều ngược lại cũng đúng].
Bài 1.2 trang 153 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Vì sao dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\]với \[{u_n} = {\left[ { - 1} \right]^n}\]không thể có giới hạn là 0 khi \[n \to + \infty \] ?
Giải:
Vì \[\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{\left[ { - 1} \right]}^n}} \right| = 1\]nên \[\left| {{u_n}} \right|\]không thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Chẳng hạn, \[\left| {{u_n}} \right|\]không thể nhỏ hơn 0,5 với mọin.
Do đó, dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\]không thể có giới hạn là 0.
Bài 1.3 trang 153 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Cho biết dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\]có giới hạn hữu hạn, còn dãy số \[\left[ {{v_n}} \right]\]không có giới hạn hữu hạn. Dãy số \[\left[ {{u_n} + {v_n}} \right]\]có thể có giới hạn hữu hạn không ?
Giải:
Dãy \[\left[ {{u_n} + {v_n}} \right]\]không có giới hạn hữu hạn.
Thật vậy, giả sử ngược lại, \[\left[ {{u_n} + {v_n}} \right]\]có giới hạn hữu hạn.
Khi đó, các dãy số \[\left[ {{u_n} + {v_n}} \right]\]và \[\left[ {{u_n}} \right]\]cùng có giới hạn hữu hạn, nên hiệu của chúngcũng là một dãy có giới hạn hữu hạn, nghĩa là dãy số có số hạng tổng quát là \[{u_n} + {v_n} - {u_n} = {v_n}\]có giới hạn hữu hạn. Điều này trái với giả thiết \[\left[ {{v_n}} \right]\]không có giới hạn hữu hạn.
Bài 1.4 trang 153 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
a] Cho hai dãy số [un] và [vn]. Biết \[\lim {u_n} = - \infty \]và \[{v_n} \le {u_n}\]với mọin. Có kết luận gì về giới hạn của dãy [vn]khi \[n \to + \infty \]?
b] Tìm vnvới \[{v_n} = - n!\]
Giải :
a] Vì \[\lim {u_n} = - \infty \]nên \[\lim \left[ { - {u_n}} \right] = + \infty \].Do đó, \[\left[ { - {u_n}} \right]\]có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. [1]
Mặt khác, vì \[{v_n} \le {u_n}\]với mọin nên \[\left[ { - {v_n}} \right] \ge \left[ { - {u_n}} \right]\]với mọin. [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[\left[ { - {v_n}} \right]\]có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Do đó, \[\lim \left[ { - {v_n}} \right] = + \infty \]hay \[\lim {v_n} = - \infty \]
b] Xét dãy số \[\left[ {{u_n}} \right] = - n\]
Ta có- n! < - nhay \[{v_n} < {u_n}\]với mọi n. Mặt khác, \[\lim {u_n} = \lim \left[ { - n} \right] = - \infty \]
Từ kết quả câu a] suy ra \[\lim {v_n} = \lim \left[ { - n!} \right] = - \infty \]