Bài 1.1 trang 99 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Chứng minh các đẳng thức sau [với n N* ]
a] \[2 + 5 + 8 + ... + \left[ {3n - 1} \right] = {{n\left[ {3n + 1} \right]} \over 2};\]
b] \[3 + 9 + 27 + ... + {3^n} = {1 \over 2}\left[ {{3^{n + 1}} - 3} \right].\]
Giải:
a] Đặt vế trái bằng Sn. Kiểm tra với n = 1 hệ thức đúng.
Giả sử đã có \[{S_k} = {{k\left[ {3k + 1} \right]} \over 2}\]với \[k \ge 1\].
Ta phải chứng minh \[{S_{k + 1}} = {{\left[ {k + 1} \right]\left[ {3k + 4} \right]} \over 2}\]
Thật vậy
\[\eqalign{
& {S_{k + 1}} = {S_k} + 3\left[ {k + 1} \right] - 1 \cr
& = {{k\left[ {3k + 1} \right]} \over 2} + 3k + 2 \cr
& = {{3{k^2} + k + 6k + 4} \over 2} \cr
& = {{3{k^2} + 7k + 4} \over 2} \cr
& {\rm{ = }}{{\left[ {k + 1} \right]\left[ {3k + 4} \right]} \over 2}{\rm{ }}\left[ {đpcm} \right] \cr} \]
b] Đặt vế trái bằnglàm tương tự như câu a].
Bài 1.2 trang 99 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Chứng minh các đẳng thức sau [với n N* ]
a] \[{1^2} + {3^2} + {5^2} + ... + {\left[ {2n - 1} \right]^2} = {{n\left[ {4{n^2} - 1} \right]} \over 3};\]
b] \[{1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = {{{n^2}{{\left[ {n + 1} \right]}^2}} \over 4}\]
Giải:
a] Đặt vế trái bằng Sn
Với n = 1 vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng \[{{1\left[ {4.1 - 1} \right]} \over 3} = 1\]
Giả sử đã có \[{S_k} = {{k\left[ {4{k^2} - 1} \right]} \over 3}\]với \[k \ge 1\].Ta phải chứng minh
\[{S_{k + 1}} = {{\left[ {k + 1} \right]\left[ {4{{\left[ {k + 1} \right]}^2} - 1} \right]} \over 3}\]
Thật vậy, ta có
\[\eqalign{
& {S_{k + 1}} = {S_k} + {\left[ {2\left[ {k + 1} \right] - 1} \right]^2} = {S_k} + {\left[ {2k + 1} \right]^2} \cr
& {\rm{ = }}{{k\left[ {4{k^2} - 1} \right]} \over 3} + {\left[ {2k + 1} \right]^2} \cr
& = {{\left[ {2k + 1} \right]\left[ {k\left[ {2k - 1} \right] + 3\left[ {2k + 1} \right]} \right]} \over 3} \cr
& {\rm{ = }}{{\left[ {k + 1} \right]\left[ {2{k^2} + 5k + 3} \right]} \over 3} \cr
& = {{\left[ {k + 1} \right]\left[ {2k + 3} \right]\left[ {2k + 1} \right]} \over 3} \cr
& = {{\left[ {k + 1} \right]\left[ {4{{\left[ {k + 1} \right]}^2} - 1} \right]} \over 3} \cr} \]
b] Đặt vế trái bằng An
Dễ thấy với n = 1 hệ thức đúng.
Giả sử đã có \[{A_k} = {{{k^2}{{\left[ {k + 1} \right]}^2}} \over 4},\left[ {k \ge 1} \right]\]
Ta có:
\[\eqalign{
& {A_{k + 1}} = {A_k} + {\left[ {k + 1} \right]^3} \cr
& = {{{k^2}{{\left[ {k + 1} \right]}^2}} \over 4} + {\left[ {k + 1} \right]^3} \cr
& {\rm{ = }}{{{{\left[ {k + 1} \right]}^2}\left[ {{k^2} + 4k + 4} \right]} \over 4} \cr
& = {{{{\left[ {k + 1} \right]}^2}{{\left[ {k + 2} \right]}^2}} \over 4} \cr} \]
Bài 1.3 trang 100 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Chứng minh rằng với mọi n N* ta có
a] \[2{n^3} - 3{n^2} + n\]chia hết cho 6.
b] \[{11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}}\]chia hết cho 133.
Giải:
a] HD: Đặt \[{B_n} = 2{n^3} - 3{n^2} + n\] tínhB1
Giả sử đã có \[{B_k} = 2{k^3} - 3{k^2} + k\]chia hết cho 6.
Ta phải chứng minh \[{B_{k + 1}} = 2{\left[ {k + 1} \right]^3} - 3{\left[ {k + 1} \right]^2} + k\]chia hết cho 6.
b] Đặt \[{A_n} = {11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}}\]Dễ thấy \[{A_1} = 133\]chia hết cho 133.
Giả sử \[{A_k} = {11^{k + 1}} + {12^{2k - 1}}\] đã cóchia hết cho 133.
Ta có
\[\eqalign{
& {A_{k + 1}} = {11^{k + 2}} + {12^{2k + 1}} \cr
& = {11.11^{k + 1}} + {12^{2k - 1}}{.12^2} \cr
& {\rm{ = 11}}{\rm{.1}}{{\rm{1}}^{k + 1}} + {12^{2k - 1}}\left[ {11 + 133} \right] \cr
& = 11.{A_k} + {133.12^{2k - 1}} \cr} \]
Vì \[{A_k} \vdots 133\]nên \[{A_{k + 1}} \vdots 133\]
Bài 1.4 trang 100 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Chứng minh các bất đẳng thức sau [n N*]
a] \[{2^{n + 2}} > 2n + 5{\rm{ }}\];
b] \[{\sin ^{2n}}\alpha + {\cos ^{2n}}\alpha \le 1\]
Giải:
a] Với n = 1 thì \[{2^{1 + 2}} = 8 > 7 = 2.1 + 5\]
Giả sử bất đẳng thức đúng với \[n = k \ge 1\] tức là \[{2^{k + 2}} > 2k + 5\,\,\,[1]\]
Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1,tức là \[{2^{k + 3}} > 2\left[ {k + 1} \right] + 5\]hay \[{2^{k + 3}} > 2k + 7\,\,\,\left[ 2 \right]\]
Thật vậy, nhân hai vế của [1] với 2, ta được
\[{2^{k + 3}} > 4k + 10 = 2k + 7 + 2k + 3\]
Vì \[2k + 3 > 0\] nên \[{2^{k + 3}} > 2k + 7\left[ {đpcm} \right]\]
b] Với n = 1 thì \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\] bất đẳng thức đúng.
Giả sử đã có \[{\sin ^{2k}}\alpha + {\cos ^{2k}}\alpha \le 1\]với \[k \ge 1\],ta phải chứng minh
\[{\sin ^{2k + 2}}\alpha + {\cos ^{2k + 2}}\alpha \le 1\].
Thật vậy, ta có:
\[{\sin ^{2k + 2}}\alpha + {\cos ^{2k + 2}}\alpha\]
\[ = {\sin ^{2k}}\alpha .{\sin ^2}\alpha + {\cos ^{2k}}\alpha .{\cos ^2}\alpha \le {\sin ^{2k}}\alpha + {\cos ^{2k}}\alpha \le 1\]