Bài 1.19 trang 30 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Trong mặt phẳng Oxy, cho \[\overrightarrow v = \left[ {2;0} \right]\]và điểm M[1; 1].
a] Tìm tọa độ của điểm M là ảnh của điểm M qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua trục Oy và phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow v \]
b] Tìm tọa độ của điểm M là ảnh của điểm M qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow v \]và phép đối xứng qua trục Oy.
Giải:
a] M[-1;1]đối xứng qua trục Oyta được N[-1;1].
Gọi M'[x;y]là ảnh củaN[-1;1]qua phép tịnh tiến theo vecto \[\vec v[2;0]\]
\[ \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = - 1 + 2 = 1 \hfill \cr
y = 1 + 0 = 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow M' \equiv M[1;1]\]
b] GọiP[x;y] là ảnh của \[M[1;1]\] qua phép tịnh tiến theo \[\vec v[2;0]\]
\[ \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = 1 + 2 = 3 \hfill \cr
y = 1 + 0 = 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow P[3;1]\]
P[3;1] đối xứng qua trục Oyta đượcM"[ - 3;1]
Bài 1.20 trang 30 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ \[\overrightarrow v = \left[ {3;1} \right]\]và đường thẳng d có phương trình \[2x - y = 0\]. Tìm ảnh của d qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 90° và phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow v \].
Giải:
Gọi \[d_1\] là ảnh của d qua phép quay tâm 0 góc 90°. Vì d chứa tâm quay O nên \[d_1\]cũng chứa O. Ngoài ra \[d_1\]vuông góc với d nên \[d_1\]có phương trình \9x + 2y = 0\].
Gọi d' là ảnh của \[d_1\]qua phép tịnh tiến vectơ [\overrightarrow v \]. Khi đó phương trình của d' có dạng \[x + 2y + C = 0\]. Vì d' chứa \[O'\left[ {3;1} \right]\]là ảnh của O qua phép tịnh tiến vectơ [\overrightarrow v \]nên \[3 + 2 + C = 0\]từ đó C = -5. Vậy phương trình của d' là \[x + 2y - 5 = 0\].
Bài 1.21 trang 30 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Chứng minh rằng mỗi phép quay đều có thể xem là kết quả của việc thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục.
Giải:
Gọi \[{Q_{\left[ {I,\alpha } \right]}}\]là phép quay tâm I góc \[\alpha \] . Lấy đường thẳng d bất kì qua I. Gọi d' là ảnh của d qua phép quay tâm I góc \[{\alpha \over 2}\]. Lấy điểm M bất kì và gọi \[M' = {Q_{\left[ {I,\alpha } \right]}}\left[ M \right]\]. Gọi M" là ảnh của M qua phép đối xứng qua trục d. \[M_1\] là ảnh của M" qua phép đối xứng qua trục d'. Gọi J là giao của MM" với d, H là giao của \[M''{M_1}\]với d'. Khi đó ta có đẳng thức giữa các góc lượng giác sau:
\[\eqalign{
& \left[ {IM,I{M_1}} \right] = \left[ {IM,IM''} \right] + \left[ {IM'',I{M_1}} \right] \cr
& = 2\left[ {IJ,IM''} \right] + 2\left[ {IM'',IH} \right] \cr
& = 2\left[ {IJ,IH} \right] \cr
& = 2{\alpha \over 2} = a = \left[ {IM,IM'} \right] \cr} \]
Từ đó suy ra \[M' \equiv {M_1}\]. Như vậy M' có thể xem là ảnh của sau khi thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai trục d và d'.
Bài 1.22 trang 30 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho hình vuông ABCD có tâm I. Trên tia BC lấy điểm E sao cho BE = AI.
a] Xác định một phép dời hình biến A thành B và I thành E
b] Dựng ảnh của hình vuông ABCD qua phép dời hình ấy.
Giải:
Gọi F là phép đối xứng qua đường trung trực d của cạnh AB, G là phép đối xứng qua đường trung trực d' của cạnh IE. Khi đó F biến AI thành BI, G biến BI thành BE. Từ đó suy ra phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép biến hình F và G sẽ biến AI thành BE.
Hơn nữa gọi J là giao của d và d', thì dễ thấy \[J{\rm{A}} = JB,JI = J{\rm{E}}\] và \[2\left[ {JI,JB} \right] = \left[ {JI,J{\rm{E}}} \right] = {45^0}\]
[vì \[JE\parallel IB\]]. Do đó theo kết quả của bài 1.21, phép dời hình nói trên chính là phép quay tâm J góc 45°
Lưu ý. Có thể tìm được nhiều phép dời hình biến AI thành BE.
b] F biến các điểm A, B, C, D thành B, A, D, C; G biến các điểm B, A, D, C thành B, A', D', C'. Do đó ảnh của hình vuông ABCD qua phép dời hình nói trên là hình vuông BA'D'C' đối xứng với hình vuông BADC qua d'