Bài 1.29 trang 22 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Tìm các tiệm cận đường và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:
a] \[y = {{2x - 1} \over {x + 2}}\];
b] \[y = {{3 - 2x} \over {3x + 1}}\]
c] \[y = {5 \over {2 - 3x}}\]
d] \[y = {{ - 4} \over {x + 1}}\]
Hướng dẫn làm bài:
a]\[y = {{2x - 1} \over {x + 2}}\]
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} {{2x - 1} \over {x + 2}} = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} {{2x - 1} \over {x + 2}} = + \infty \] nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{2x - 1} \over {x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{2 - {1 \over x}} \over {1 + {2 \over x}}} = 2\] nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
b] Từ \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{[ - {1 \over 3}]}^ + }} {{3 - 2x} \over {3x + 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{[ - {1 \over 3}]}^ - }} {{3 - 2x} \over {3x + 1}} = - \infty \] , ta có \[x = - {1 \over 3}\]là tiệm cận đứng
Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{3 - 2x} \over {3x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{3 \over x} - 2} \over {3 + {1 \over x}}} = - {2 \over 3}\]nên đường thẳng \[y = - {2 \over 3}\]là tiệm cận ngang.
c] Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{[{2 \over 3}]}^ + }} {5 \over {2 - 3x}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{[{2 \over 3}]}^ - }} {5 \over {2 - 3x}} = + \infty \]nên \[x = {2 \over 3}\] là tiệm cận đứng,
Do \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {5 \over {2 - 3x}} = 0\] nên y = 0 là tiệm cận ngang.
d] Do \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} {{ - 4} \over {x + 1}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} {{ - 4} \over {x + 1}} = + \infty \]nên x = -1 là tiệm cận đứng.
Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{ - 4} \over {x + 1}} = 0\]nên y = 0 là tiệm cận ngang.
Bài 1.30 trang 22 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:
a] \[y = {{{x^2} - 12x + 27} \over {{x^2} - 4x + 5}}\]
b] \[y = {{{x^2} - x - 2} \over {{{[x - 1]}^2}}}\]
c] \[y = {{{x^2} + 3x} \over {{x^2} - 4}}\]
d] \[y = {{2 - x} \over {{x^2} - 4x + 3}}\]
e] \[y = {{3x + \sqrt {{x^2} + 1} } \over {2 + \sqrt {3{x^2} + 2} }}\]
f] \[y = {{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 2} } \over {x - 4}}\]
Hướng dẫn làm bài:
a] Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{x^2} - 12x + 27} \over {{x^2} - 4x + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{1 - {{12} \over x} + {{27} \over {{x^2}}}} \over {1 - {4 \over x} + {5 \over {{x^2}}}}} = 1\]nên y = 1 là tiệm cận ngang.
b] Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ \pm }} {{{x^2} - x - 2} \over {{{[x - 1]}^2}}} = - \infty \] nên x = 1 là tiệm cận đứng.
Từ \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{x^2} - x - 2} \over {{{[x - 1]}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{1 - {1 \over x} - {2 \over {{x^2}}}} \over {{{[1 - {1 \over x}]}^2}}} = 1\]suy ra y = 1 là tiệm cận ngang.
c] Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{{x^2} + 3x} \over {{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{{x^2} + 3x} \over {[x - 2][x + 2]}} = + \infty \] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{{x^2} + 3x} \over {[x - 2][x + 2]}} = - \infty \] nên x = 2 là một tiệm cận đứng.
Do \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} {{{x^2} + 3x} \over {{x^2} - 4}} = + \infty \]và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} {{{x^2} + 3x} \over {[x - 2][x + 2]}} = - \infty \]nên x = -2 là tiệm cận đứng thứ hai.
Ta lại có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{x^2} + 3x} \over {{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{1 + {3 \over x}} \over {1 - {4 \over {{x^2}}}}} = 1\]nên y = 1 là tiệm cận ngang.
d] Do \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ \pm }} {{2 - x} \over {{x^2} - 4x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ \pm }} {{2 - x} \over {[x - 1][x - 3]}} = \mp \infty\]nên x = 1 là tiệm cận đứng.
Mặt khác, \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ \pm }} {{2 - x} \over {{x^2} - 4x + 3}} = \mp \infty \]nên x = 3 cũng là tiệm cận đứng
Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{2 - x} \over {{x^2} - 4x + 3}} = 0\]nên y = 0 là tiệm cận ngang.
e] TXĐ: R
Từ
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{3 + \sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} } \over {{2 \over x} + \sqrt {3 + {2 \over {{x^2}}}} }} = {4 \over {\sqrt 3 }} = {{4\sqrt 3 } \over 3} \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{3 - \sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} } \over {{2 \over x} - \sqrt {3 + {2 \over {{x^2}}}} }} = - {2 \over {\sqrt 3 }} = - {{2\sqrt 3 } \over 3} \cr} \]
Suy ra đồ thị hàm số có các tiệm cận ngang:
\[y = {{4\sqrt 3 } \over 3}\] khi \[x \to + \infty \]
\[y = - {{2\sqrt 3 } \over 3}\]khi \[x \to - \infty \]
Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
f] TXĐ: \[D = [ - \infty ; - \sqrt 2 ] \cup [\sqrt 2 ;4] \cup [4; + \infty ]\]
Do \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{5 - {1 \over x} - \sqrt {1 - {2 \over {{x^2}}}} } \over {1 - {4 \over x}}} = 4\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{5 - {1 \over x} + \sqrt {1 - {2 \over {{x^2}}}} } \over {1 - {4 \over x}}} = 6\]
Cho nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang
y = 4 khi \[x \to + \infty \]
y = 6 khi\[x \to - \infty \]
Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ \pm }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ \pm }} {{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 2} } \over {x - 4}} = \pm \infty \]
Cho nên đường thẳng x = 4 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Bài 1.31 trang 23 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
a] Cho hàm số \[y = {{3 - x} \over {x + 1}}\]có đồ thị [H]
Chỉ ra một phép biến hình biến [H] thành [H] có tiệm cận ngang y = 2 và tiệm cận đứng x = 2.
b] Lấy đối xứng [H] qua gốc [O], ta được hình [H]. Viết phương trình của [H].
Hướng dẫn làm bài:
a] Từ đồ thị hàm số [H], để có hình [H] nhận y = 2 là tiệm cận ngang và x = 2 là tiệm cận đứng, ta tịnh tiến đồ thị [H] song song với trục Oy lên trên 3 đơn vị, sau đó tịnh tiến song song với trục Ox về bên phải 3 đơn vị, ta được các hàm số tương ứng sau:
\[\eqalign{
& y = f[x] = {{3 - x} \over {x + 1}} + 3 = {{3 - x + 3x + 3} \over {x + 1}} = {{2x + 6} \over {x + 1}} \cr
& y = g[x] = {{2[x - 3] + 6} \over {x - 3 + 1}} = {{2x} \over {x - 2}} \cr} \]
b] Lấy đối xứng hình [H] qua gốc O, ta được hình [H] có phương trình là:
\[y = h[x] = - {{2[ - x]} \over {[ - x] - 2}} = - {{ - 2x} \over { - 2 - x}} = - {{2x} \over {x + 2}}\].