Bài 69 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải các phương trình và bất phương trình sau
a] \[|{{{x^2} - 2} \over {x + 1}}|\, = 2\]
b] \[|{{3x + 4} \over {x - 2}}|\, \le 3\]
c] \[|{{2x - 3} \over {x - 3}}|\,\, \ge 1\]
d] \[|2x + 3| = |4 3x|\]
Đáp án
a] Điều kiện: x - 1
Ta có:
\[\eqalign{
& |{{{x^2} - 2} \over {x + 1}}|\, = 2 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{{{x^2} - 2} \over {x + 1}} = 2 \hfill \cr
{{{x^2} - 2} \over {x + 1}} = - 2 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} - 2 = 2x + 2 \hfill \cr
{x^2} - 2 = - 2x - 2 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} - 2x - 4 = 0 \hfill \cr
{x^2} + 2x = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \pm \sqrt 5 \hfill \cr
\left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = - 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy \[S = {\rm{\{ }}1 \pm \sqrt 5 ;\,0;\,2\} \]
b] Điều kiện: x 2
Ta có:
\[\eqalign{
& |{{3x + 4} \over {x - 2}}|\, \le 3 \Leftrightarrow |3x + 4|\, \le \,3|x - 2| \cr
& \Leftrightarrow {[3x + 4]^2} - 9{[x - 2]^2} \le 0 \cr
& \Leftrightarrow 10[6x - 2] \le 0 \Leftrightarrow x \le {1 \over 3} \cr} \]
Vậy \[S = [ - \infty ,{1 \over 3}{\rm{]}}\]
c] Điều kiện: x 3
Ta có:
\[\eqalign{
& |{{2x - 3} \over {x - 3}}|\,\, \ge 1\, \Leftrightarrow \,|2x - 3|\, \ge \,|x - 3| \cr
& \Leftrightarrow {[2x - 3]^2} - {[x - 3]^2} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow x[3x - 6] \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \le 0 \hfill \cr
x \ge 2 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy \[S = [-, 0] [2, 3] [3, +]\]
d] Ta có:
\[|2x + 3|\, = \,|4 - 3x|\, \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x + 3 = 4 - 3x \hfill \cr
2x + 3 = 3x - 4 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {1 \over 5} \hfill \cr
x = 7 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[S = {\rm{\{ }}{1 \over 5},7\} \]
Bài 70 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải các bất phương trình sau:
a] |x2 5x + 4| x2 + 6x + 5
b] 4x2 + 4x - |2x + 1| 5
Đáp án
a] Áp dụng:
|A| B -B A B
|x2 5x + 4| x2 + 6x + 5
-x2 6x 5 x2 5x + 4 x2 + 6x + 5
\[\left\{ \matrix{
2{x^2} + x + 9 \ge 0 \hfill \cr
11x \ge - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge - {1 \over {11}}\]
Vậy \[S = {\rm{[}} - {1 \over {11}}; + \infty ]\]
b] Ta có: 4x2 + 4x - |2x + 1| 5
|2x + 1| 4x2 + 4x 5
-4x2 4x + 5 2x + 1 4x2 + 4x 5
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
4{x^2} + 6x - 4 \ge 0 \hfill \cr
4{x^2} + 2x - 6 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x \le - 2 \hfill \cr
x \ge {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left[ \matrix{
x \le - {3 \over 2} \hfill \cr
x \ge 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \le - 2 \hfill \cr
x \ge 1 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[S = [-, -2] [1, + ]\]
Bài 71 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải các phương trình sau
a] \[\sqrt {5{x^2} - 6x - 4} = 2[x - 1]\]
b] \[\sqrt {{x^2} + 3x + 12} = {x^2} + 3x\]
Đáp án
a] Ta có:
\[\eqalign{
& \sqrt {5{x^2} - 6x - 4} = 2[x - 1]\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 1 \hfill \cr
5{x^2} - 6x - 4 = 4{[x - 1]^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 1 \hfill \cr
{x^2} + 2x - 8 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 2 \cr} \]
Vậy S = {2}
b] Đặt \[t = \sqrt {{x^2} + 3x + 12} \,\,\,[t \ge 0] \Rightarrow {x^2} + 3x = {t^2} - 12\], ta có phương trình:
\[t = {t^2} - 12 \Leftrightarrow {t^2} - t - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 4 \hfill \cr
t = - 3 \hfill \cr} \right.\]
Ta thấy t = 4 thỏa mãn điều kiện xác định nên:
\[\eqalign{
& t = 4 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3x + 12} = 4 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = - 4 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy S = {4, 1}
Bài 72 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải các bất phương trình sau
a] \[\sqrt {{x^2} + 6x + 8} \le 2x + 3\]
b] \[{{2x - 4} \over {\sqrt {{x^2} - 3x - 10} }} > 1\]
c] \[6\sqrt {[x - 2][x - 32]} \le {x^2} - 34x + 48\]
Đáp án
a]
Áp dụng:
\[\sqrt A = B \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
A \ge 0 \hfill \cr
B \ge 0 \hfill \cr
A \le {B^2} \hfill \cr} \right.\]
Ta có:
\[\eqalign{
& \sqrt {{x^2} + 6x + 8} \le 2x + 3 \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} + 6x + 8 \ge 0 \hfill \cr
2x + 3 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} + 6x + 8 \le {[2x + 3]^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x \le - 4 \hfill \cr
x \ge - 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
x \ge - {3 \over 2} \hfill \cr
3{x^2} + 6x + 1 \ge 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge - {3 \over 2} \hfill \cr
\left[ \matrix{
x \le {{ - 3 - \sqrt 6 } \over 3} \hfill \cr
x \ge {{ - 3 + \sqrt 6 } \over 3} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge {{\sqrt 6 } \over 3} - 1 \cr} \]
Vậy \[S = {\rm{[}}{{\sqrt 6 } \over 3} - 1, + \infty ]\]
b] Ta có:
\[\eqalign{
& {{2x - 4} \over {\sqrt {{x^2} - 3x - 10} }} > 1\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - 3x - 10 > 0 \hfill \cr
\sqrt {{x^2} - 3x - 10} < 2x - 4 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - 3x - 10 > 0 \hfill \cr
2x - 4 > 0 \hfill \cr
{x^2} - 3x - 10 < {[2x - 4]^2} \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x < - 2 \hfill \cr
x > 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
x > 2 \hfill \cr
3{x^2} - 13x + 26 > 0\,\,[\forall x] \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x > 5 \cr} \]
Vậy \[S = [5, +]\]
c] Đặt \[y = \sqrt {[x - 2][x - 32]} = \sqrt {{x^2} - 34x + 64} \,\,\,[y \ge 0]\]
x2 34x = y2 64
Ta có bất phương trình:
6y y2 - 16 y2 6y 16 0 y 2 hoặc y 8
Với điều kiện y 0, ta có:
y 8 x2 34x + 64 64 x2 34x 0
x 0 hoặc x 34
Vậy \[S = [-, 0] [34, +]\]