Bài 13 trang 215 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Giải các hệ phương trình sau
a] \[\left\{ \matrix{
x + y + xy = 5 \hfill \cr
{x^2} + {y^2} + xy = 7; \hfill \cr} \right.\]
b] \[\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} - xy = 13 \hfill \cr
x + y - \sqrt {xy} = 3. \hfill \cr} \right.\]
Gợi ý làm bài
a] \[\left\{ \matrix{
x + y + xy = 5 \hfill \cr
{x^2} + {y^2} + xy = 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + y + xy = 5 \hfill \cr
{[x + y]^2} + [x + y] = 12 \hfill \cr} \right.\]
Đặt u = x + y ta được\[{u^2} + u - 12 = 0\]
Giải ra ta được\[{u_1} = 3,{u_2} = - 4\]
Với u = 3 ta có hệ phương trình
\[\left\{ \matrix{
x + y = 3 \hfill \cr
xy = 2 \hfill \cr} \right.[*]\]
Với u = -4ta được hệ phương trình
\[\left\{ \matrix{
x + y = - 4 \hfill \cr
xy = 9 \hfill \cr} \right.\] [vô nghiệm]
Đáp số: [1; 2] và [2; 1].
b] Đặt
\[\left\{ \matrix{
u = x + y \hfill \cr
v = \sqrt {xy} \hfill \cr} \right.[v \ge 0]\] ta được hệ phương trình
\[\left\{ \matrix{
{u^2} - 3{v^2} = 13 \hfill \cr
u - v = 3 \hfill \cr} \right.\]
hay
\[\left\{ \matrix{
u - v = 3 \hfill \cr
{u^2} - 9u + 20 = 0 \hfill \cr} \right.\]
Giải hệ phương trình trên ta được
u = 5, v = 2
hoặc u = 4, v = 1
Vậy
\[\left\{ \matrix{
x + y = 5 \hfill \cr
\sqrt {xy} = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x = 4 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
y = 4 \hfill \cr
x = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\]
và
\[\left\{ \matrix{
x + y = 4 \hfill \cr
\sqrt {xy} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x = 2 - \sqrt 3 \hfill \cr
y = 2 + \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x = 2 + \sqrt 3 \hfill \cr
y = 2 - \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\]
Đáp số: Hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là
\[[4;1];[1;4];[2 - \sqrt 3 ;2 + \sqrt 3 ];[2 + \sqrt 3 ;2 - \sqrt 3 ]\]
Bài 14 trang 216 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Giải các hệ phương trình sau
\[\left\{ \matrix{
{x^2} - xy = 28 \hfill \cr
{y^2} - xy = - 12; \hfill \cr} \right.\]
\[\left\{ \matrix{
5[x + y] + 2xy = - 19 \hfill \cr
15xy + 5[x + y] = - 175. \hfill \cr} \right.\]
Gợi ý làm bài
a]
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
x_{}^2 - xy = 28 \hfill \cr
y_{}^2 - xy = - 12 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x_{}^2 - 2xy + y_{}^2 = 16 \hfill \cr
x_{}^2 - xy = 28 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
[x - y]_{}^2 = 16 \hfill \cr
x[x - y] = 28 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x - y = 4 \hfill \cr
x - y = - 4 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
x[x - y] = 28 \hfill \cr} \right. \cr} \]
\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x - y = 4 \hfill \cr
x[x - y] = 28 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x - y = - 4 \hfill \cr
x[x - y] = 28 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x = 7 \hfill \cr
y = 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x = - 7 \hfill \cr
y = - 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\]
b]
\[\left\{ \matrix{
5[x + y] + 2xy = - 19 \hfill \cr
15xy + 5[x + y] = - 175 \hfill \cr} \right.\]
Đặt \[\left\{ \matrix{
x + y = a \hfill \cr
xy = b \hfill \cr} \right.\]
ta có hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:
\[\left\{ \matrix{
5a + 2b = - 19 \hfill \cr
5a + 15b = - 175 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
13b = - 156 \hfill \cr
5a + 2b = - 19 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
b = - 12 \hfill \cr
a = 1 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[\left\{ \matrix{
x + y = 1 \hfill \cr
xy = - 12 \hfill \cr} \right.\] \[ \Rightarrow \,x,y\] là 2 nghiệm của phương trình
\[X_{}^2 - X - 12 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
X_1^{} = - 3 \hfill \cr
X_2^{} = 4 \hfill \cr} \right.\]
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm
\[\left\{ \matrix{
x = - 3 \hfill \cr
y = 4 \hfill \cr} \right.\]
và
\[\left\{ \matrix{
x = 4 \hfill \cr
y = - 3 \hfill \cr} \right.\]
Bài 15 trang 216 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Giải các bất phương trình sau
a]\[3{x^2} - 7x + 4 \le 0\]
b]\[{x^2} - 3x + 5 > 0\]
c] \[{x^2} + 4 \ge \left| {3x + 2} \right| - 7x\]
e]\[{{2x + 3} \over {{x^2} + x - 12}} \le {1 \over 2}\]
g]\[{{{x^4} - 3{x^3} + 2{x^2}} \over {{x^2} - x - 30}} > 0\]
Gợi ý làm bài
a]\[\left[ {1;{4 \over 3}} \right]\]
b]\[[ - \infty ; + \infty ]\]
c] \[\left[ { - \infty ;{{4 - \sqrt 2 } \over 2}} \right] \cup \left[ {{{5 + \sqrt 3 } \over 2}; + \infty } \right]\]
d] \[\left[ { - \infty ;{{ - 5 - \sqrt {19} } \over 3}} \right] \cup \left[ {{{4 + \sqrt {19} } \over 3}; + \infty } \right]\]
e]\[[ - \infty ; - 4] \cup [ - 3;3] \cup [6; + \infty ]\]
g] \[[ - \infty ; - 5] \cup [1;2] \cup [6; + \infty ]\]
Bài 16 trang 216 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết tọa độ trung điểm của các cạnh BC, CA, AB lần lượt là M[1;2], N[3;-5], P[5; 7].
Gợi ý làm bài
Giả sử các đỉnh của tam giác có tọa độ lần lượt là
\[A[{x_1},{y_1}],B[{x_2},{y_2}],C[{x_3},{y_3}]\]
Theo công thức tọa độ trung điểm ta có:
\[[I]\left\{ \matrix{
{x_2} + {x_3} = 2{x_M} = 2 \hfill \cr
{x_3} + {x_1} = 2{x_N} = 6 \hfill \cr
{x_1} + {x_2} = 2{x_P} = 10 \hfill \cr} \right.\]
và
\[[II]\left\{ \matrix{
{y_2} + {y_3} = 2{y_M} = 4 \hfill \cr
{y_3} + {y_1} = 2{y_N} = - 10 \hfill \cr
{y_1} + {y_2} = 2{y_P} = 14 \hfill \cr} \right.\]
Cộng từng vế các phương trình của hệ [I] ta được
\[2[{x_1} + {x_2} + {x_3}] = 18 = > {x_1} + {x_2} + {x_3} = 9\]
Từ đó: \[{x_1} = 7;{x_2} = 3;{x_3} = - 1\]
Tương tự tìm được\[{y_1} = 0;{y_2} = 14;{y_3} = - 10\]
Vậy: \[A[7;0];B[3;14];C[ - 1; - 10]\]