Bài 13 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao
Chứng minh rằng:
a] \[{{{a^2} + 6} \over {\sqrt {{a^2} + 2} }} \ge 4\,\,\,\,[a \in R]\]
b] \[{{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{c^2}}} + {{{c^2}} \over {{a^2}}} \ge {a \over c} + {c \over b} + {b \over a}\,\,\,[a,\,b,\,c\, \in R]\]
Đáp án
a] Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
\[{{{a^2} + 6} \over {\sqrt {{a^2} + 2} }} = {{[{a^2} + 2] + 4} \over {\sqrt {{a^2} + 2} }} = \sqrt {{a^2} + 2} + {4 \over {\sqrt {{a^2} + 2} }} \ge \]
\[2\sqrt {\sqrt {{a^2} + 2} .{4 \over {\sqrt {{a^2} + 2} }}} = 4\]
b] Ta có:
\[{{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{c^2}}} \ge 2\sqrt {{{{a^2}} \over {{b^2}}}.{{{b^2}} \over {{c^2}}}} = 2|{a \over c}|\, \ge {{2a} \over c}\]
Tương tự ta có:
\[\left\{ \matrix{
{{{b^2}} \over {{c^2}}} + {{{c^2}} \over {{a^2}}} \ge 2{b \over a} \hfill \cr
{{{c^2}} \over {{a^2}}} + {{{a^2}} \over {{b^2}}} \ge 2{c \over b} \hfill \cr} \right.\]
Từ đó suy ra: \[2[{{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{c^2}}} + {{{c^2}} \over {{a^2}}}] \ge 2[{a \over c} + {c \over b} + {b \over a}]\]
Bài 14 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao
Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
a] \[f[x] = x + {2 \over {x + 2}}\]trên khoảng \[[-2; +]\]
b] \[g[x] = 3{x^2} + {1 \over x}\]trên khoảng \[[0; +]\]
Đáp án
a] Áp dụng bất đẳg thức Cô-si, ta có:
\[f[x] = x + 2{2 \over {x + 2}} - 2 \ge 2\sqrt {[x + 2]{2 \over {x + 2}}} - 2 \]
\[= 2\sqrt 2 - 2\]
Dấu =xảy ra khi và chỉ khi:
\[x + 2 = {2 \over {x + 2}} \Leftrightarrow {[x + 2]^2} = 2 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \sqrt 2 - 2 \hfill \cr
x = - \sqrt 2 - 2 \hfill \cr} \right.\]
b] Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số, ta có:
\[g[x] = 3{x^2} + {1 \over {2x}} + {1 \over {2x}} \ge 3\root 3 \of {3{x^2}.{1 \over {2x}}.{1 \over {2x}}} = 3\root 3 \of {{3 \over 4}} \]
Dấu = xảy ra \[\Leftrightarrow 3{x^2} = {1 \over {2x}} \Leftrightarrow x = \root 3 \of {{1 \over 6}} \]
Vậy: \[\min \,g[x] = 3\root 3 \of {{3 \over 4}} \Leftrightarrow x = \root 3 \of {{1 \over 6}} \]
Bài 15 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: \[f[x] = [2 - x][2x + 1]\] trên \[[-0,5; 2]\]
Đáp án
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
Dấu = xảy ra khi \[\Leftrightarrow 4 - 2x = 2x + 1 \Leftrightarrow x = {3 \over 4}\]
Vậy \[\max \,f[x] = {{25} \over 8} \Leftrightarrow x = {3 \over 4}\]
Bài 16 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao
Giải các hệ bất phương trình
a]
\[\left\{ \matrix{
{x^2} - 4 > 0 \hfill \cr
{1 \over {x + 1}} + {1 \over {x + 2}} \ge {1 \over x} \hfill \cr} \right.\]
b]
\[\left\{ \matrix{
{x^2} + 3x + 2 < 0 \hfill \cr
{x \over {x + 1}} \ge 0 \hfill \cr} \right.\]
Đáp án
a] Ta giải từng bất phương trình trong hệ đã cho:
\[{x^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x < - 2 \hfill \cr
x > 2 \hfill \cr} \right.\]
Tập nghiệm là S1= \[ [-; -2] [2, +]\]
\[\eqalign{
& {1 \over {x + 1}} + {1 \over {x + 2}} \ge {1 \over x}\cr& \Leftrightarrow {{x[x + 2] + x[x + 1] - [x + 1][x - 2]} \over {x[x + 1][x + 2]}} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {{{x^2} - 2} \over {x[x + 1][x + 2]}} \ge 0 \cr} \]
Lập bảng xét dấu:
Vậy \[{S_2} = [ - 2; - \sqrt 2 {\rm{]}}\, \cup \,[ - 1,0]\, \cup \,{\rm{[}}\sqrt 2 , + \infty ]\]
Từ đó tập nghiệm của hệ bất phương trình là: S = S1 S2 = \[[2, +]\]
b] Ta có:
\[\left\{ \matrix{
{x^2} + 3x + 2 < 0 \hfill \cr
{x \over {x + 1}} \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 2 < x < - 1 \hfill \cr
\left[ \matrix{
x < - 1 \hfill \cr
x \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow - 2 < x < 1\]
Vậy \[S = [-2, -1]\]