Bài 13 trang 172 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
a] \[{x^5} - 5x - 1 = 0\]có ít nhất ba nghiệm ;
b] \[m{\left[ {x - 1} \right]^3}\left[ {{x^2} - 4} \right] + {x^4} - 3 = 0\]luôn có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của tham sốm ;
c] \[{x^3} - 3x = m\]có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của$m \in \left[ { - 2;2} \right]\]
Giải :
Hướng dẫn :
a] Xét hàm số \[f\left[ x \right] = {x^5} - 5x - 1\]trên các đoạn \[\left[ { - 2; - 1} \right],\left[ { - 1;0} \right],\left[ {0;3} \right]\]
b] Xét hàm số \[f\left[ x \right] = m{\left[ {x - 1} \right]^3}\left[ {{x^2} - 4} \right] + {x^4} - 3\]trên các đoạn \[\left[ { - 2;1} \right],\left[ {1;2} \right]\]
c] Xét hàm số \[f\left[ x \right] = {x^3} - 3x - m\]trên các đoạn \[\left[ { - 1;1} \right],\left[ {1;2} \right]\]
Bài 14 trang 172 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Cho hàm số \[f\left[ x \right] = {{{x^3} + 8x + 1} \over {x - 2}}\].Phương trình \[f\left[ x \right] = 0\]có nghiệm hay không
a] trong khoảng [1; 3] ?
b] trong khoảng [-3; 1] ?
Giải:
a] Với \[x \ne 2\]ta có \[{{{x^3} + 8x + 1} \over {x - 2}} = 0 \Leftrightarrow {x^3} + 8x + 1 = 0\]
Vì \[{x^3} + 8x + 1 > 0\]với mọi \[x \in \left[ {1;3} \right]\]nên phương trình \[{x^3} + 8x + 1 = 0\]không có nghiệm trong khoảng này.
b] \[f\left[ x \right]\]là hàm phân thức hữu tỉ, nên liên tục trên \[\left[ { - \infty ;2} \right]\].Do đó, nó liên tục trên [-3; 1]
Mặt khác, \[f\left[ { - 3} \right]f\left[ 1 \right] = - 100 < 0\]
Do đó, phương trình \[f\left[ x \right] = 0\]có nghiệm trong khoảng [- 3; 1]
Bài 15 trang 172 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Giả sử hai hàm số \[y = f\left[ x \right]\] và \[y = f\left[ {x + {1 \over 2}} \right]\] đều liên tục trên đoạn [0; 1] và \[f\left[ 0 \right] = f\left[ 1 \right]\] Chứng minh rằng phương trình \[f\left[ x \right] - f\left[ {x + {1 \over 2}} \right] = 0\]luôn có nghiệm trong đoạn \[\left[ {0;{1 \over 2}} \right]\]
Giải :
Xét hàm số \[g\left[ x \right] = f\left[ x \right] - f\left[ {x + {1 \over 2}} \right]\]
Ta có
\[\eqalign{
& g\left[ 0 \right] = f\left[ 0 \right] - f\left[ {0 + {1 \over 2}} \right] \cr
& = f\left[ 0 \right] - f\left[ {{1 \over 2}} \right] \cr
& g\left[ {{1 \over 2}} \right] = f\left[ {{1 \over 2}} \right] - f\left[ {{1 \over 2} + {1 \over 2}} \right] \cr
& = f\left[ {{1 \over 2}} \right] - f\left[ 1 \right] \cr
& = f\left[ {{1 \over 2}} \right] - f\left[ 0 \right] \cr} \]
[vì theo giả thiết \[f\left[ 0 \right] = f\left[ 1 \right]\]].
Do đó,
\[\eqalign{
& g\left[ 0 \right]g\left[ {{1 \over 2}} \right] = \left[ {f\left[ 0 \right] - f\left[ {{1 \over 2}} \right]} \right]\left[ {f\left[ {{1 \over 2}} \right] - f\left[ 0 \right]} \right] \cr
& = - {\left[ {f\left[ 0 \right] - f\left[ {{1 \over 2}} \right]} \right]^2} \le 0. \cr}\]
- Nếu \[g\left[ 0 \right]g\left[ {{1 \over 2}} \right] = 0\]thì x = 0 hay \[x = {1 \over 2}\]là nghiệm của phương trình \[g\left[ x \right] = 0\]
- Nếu \[g\left[ 0 \right]g\left[ {{1 \over 2}} \right] < 0\] [1]
Vì \[y = f\left[ x \right]\]và \[y = f\left[ {x + {1 \over 2}} \right]\] đều liên tục trên đoạn [0; 1] nên hàm số \[y = g\left[ x \right]\]cũng liên tục trên [0; 1] và do đó nó liên tục trên \[\left[ {0;{1 \over 2}} \right]\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra phương trình \[g\left[ x \right] = 0\] có ít nhất một nghiệm trong khoảng
Kết luận : Phương trình \[g\left[ x \right] = 0\]hay \[f\left[ x \right] - f\left[ {x + {1 \over 2}} \right] = 0\]luôn có nghiệm trong đoạn \[\left[ {0;{1 \over 2}} \right]\]