Câu 136 trang 97 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
a. Cho hình thoi ABCD. Kẻ hai đường cao AH, AK. Chứng minh rằng AH = AK
b. Hình bình hành ABCD có hai đường cao AH , AK bằng nhau. Chứng minh rằng ABCD là hình thoi.
Giải:
a. Xét hai tam giác vuông AHB và AKD:
\[\widehat {AHB} = \widehat {AKD} = {90^0}\]
AB = AD [gt]
\[\widehat B = \widehat D\] [tính chất hình thoi]
Do đó: AHB = AKD [cạnh huyền, góc nhọn]
AH = AK
b. Xét hai tam giác vuông AHC và AKC:
\[\widehat {AHC} = \widehat {AKC} = {90^0}\]
AH = AK [gt]
AC cạnh huyền chung
Do đó: AHC = AKC [cạnh huyền, góc nhọn]
\[ \Rightarrow \widehat {ACH} = \widehat {ACK}\] hay \[\widehat {ACB} = \widehat {ACD}\]
CA là tia phân giác \[\widehat {BCD}\]
Hình bình hành ABCD có đường chéo CA là tia phân giác nên là hình thoi.
Câu 137 trang 97 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Hình thoi ABCD có\[\widehat A = {60^0}\]. Kẻ hai đường cao BE, BF. Tam giác BEF là tam giác gì ? Vì sao ?
Giải:
Xét hai tam giác vuông BEA và BFC:
\[\widehat {BEA} = \widehat {BFC} = {90^0}\]
\[\widehat A = \widehat C\] [tính chất hình thoi]
BA = BC [gt]
Do đó: BEA = BFC [cạnh huyền, góc nhọn]
BE = BF
BEF cân tại B
\[ \Rightarrow {\widehat B_1} = {\widehat B_2}\]
Trong tam giác vuông BEA ta có:
\[\eqalign{ & \Rightarrow \widehat A + {\widehat B_1} = {90^0} \Rightarrow {\widehat B_1} = {90^0} - \widehat A = {90^0} - {60^0} = {30^0} \cr & \Rightarrow {\widehat B_2} = {\widehat B_1} = {30^0} \cr} \]
\[ \Rightarrow \widehat A + \widehat {ABC} = {180^0}\] [hai góc trong cùng phía bù nhau]
\[\eqalign{ & \Rightarrow \widehat {ABC} - {180^0} - \widehat A = {180^0} - {60^0} = {120^0} \cr & \Rightarrow \widehat {ABC} = {\widehat B_1} + {\widehat B_2} + {\widehat B_3} \cr & \Rightarrow {\widehat B_3} = \widehat {ABC} - \left[ {{{\widehat B}_1} + {{\widehat B}_2}} \right]\cr & = {120^0} - \left[ {{{30}^0} + {{30}^0}} \right] = {60^0} \cr} \]
Vậy BEF đều.
Câu 138 trang 97 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ O đến AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì ? Vì sao?
Giải:
Ta có: AB // CD [gt]
OE AB [gt]
OE CD
OG CD [gt]
Suy ra: OE trùng với OG nên ba điểm O, E, G thẳng hàng.
BC // AD [gt]
OF BC [gt]
OF AD
OH AD [gt]
Suy ra : OF trùng với OH nên ba điểm O, H, F thẳng hàng
AC và BD là đường phân giác các góc của hình thoi
OE = OF [tính chất tia phân giác] [1]
OE = OH [tính chất tia phân giác] [2]
OH = OG [tính chất tia phân giác] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: OE = OF = OH = OG
Tứ giác EFGH có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình chữ nhật.
Câu 139 trang 97 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Hình thoi ABCD có chu vi bằng 16cm, đường cao AH bằng 2cm. Tính các góc của hình thoi, biết rằng \[\widehat A > \widehat B\]
Giải:
Chứng minh: Chu vi hình thoi bằng 16 [m] nên độ dài một cạnh bằng:
16 : 4 = 4 [cm]
Gọi M là trung điểm của AD.
Trong tam giác vuông AHD ta có HM là trung tuyến thuộc cạnh huyền
HM = AM = \[{1 \over 2}\]AD =\[{1 \over 2}\].4 = 2 [cm]
AM = HM = AM = 2 cm
AHM đều
\[ \Rightarrow \widehat {HAM} = {60^0}$hay $\widehat {HAD} = {60^0}\]
Trong tam giác vuông AHD ta có: \[\widehat {HAD} + \widehat D = {90^0}\]
\[ \Rightarrow \widehat D = {90^0} - \widehat {HAD} = {90^0} - {60^0} = {30^0}\]
\[ \Rightarrow \widehat B = \widehat D = {30^0}\] [tính chất hình thoi]
\[\widehat B + \widehat C = {180^0}\] [hai góc trong cùng phía bù nhau]
\[ \Rightarrow \widehat C = {180^0} - \widehat B = {180^0} - {30^0} = {150^0}\]
\[\widehat A = \widehat C = {150^0}\] [tính chất hình thoi]