Bài 1.38 trang 34 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Cho hàm số : \[y = {1 \over 4}{x^3} - {3 \over 2}{x^2} + 5\]
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho
b] Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x3 6x2+ m = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt.
Hướng dẫn làm bài:
a] Tập xác định: D = R; \[y' = {3 \over 4}{x^2} - 3x\]
\[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = 4 \hfill \cr} \right.\]
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \[[ - \infty ;0],[4; + \infty ]\].
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng [0; 4].
Hàm số đật cực đại tại x = 0, yCĐ= 5. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4, yCT= -3.
Đồ thị đi qua A[-2; -3]; B[6; 5].
b]
\[\eqalign{
& {x^3} - 6{x^2} + m = 0 \cr
& \Leftrightarrow{x^3} - 6{x^2} = - m \cr} \] [1]
\[ \Leftrightarrow{1 \over 4}{x^3} - {3 \over 2}{x^2} + 5 = 5 - {m \over 4}\]
Số nghiệm thực phân biệt của phương trình [1] bằng số giao điểm phân biệt của đồ thị [C] và đường thẳng [d]: \[y = 5 - {m \over 4}\]
Suy ra [1] có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi: \[- 3 < 5 - {m \over 4} < 5 \Leftrightarrow0 < m < 32\]
Bài 1.39 trang 34 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số: \[y = - {x^3} + 3x + 1\]
b] Chỉ ra phép biến hình biến [C] thành đồ thị [C] của hàm số: \[y = {[x + 1]^3} - 3x - 4\]
c] Dựa vào đồ thị [C], biện luận theo m số nghiệm của phương trình: \[{[x + 1]^3} = 3x + m\]
d] Viết phương trình tiếp tuyến [d] của đồ thị [C], biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng \[y = - {x \over 9} + 1\]
Hướng dẫn làm bài:
a]
b] Tịnh tiến [C] song song với trục Ox sang trái 1 đơn vị, ta được đồ thị [C1] của hàm số.
\[y = f[x] = - {[x + 1]^3} + 3[x + 1] + 1\]hay \[f[x] = - {[x + 1]^3} + 3x + 4\][C1]
Lấy đối xứng [C1] qua trục Ox, ta được đồ thị [C] của hàm số \[y = g[x] = {[x + 1]^3} - 3x - 4\]
c] Ta có: \[{[x + 1]^3} = 3x + m\] [1]
\[ \Leftrightarrow {[x + 1]^3} - 3x - 4 = m - 4\]
Số nghiệm của phương trình [1] là số giao điểm của hai đường :
\[y = g[x] = {[x + 1]^3} - 3x - 4\] [C] và y = m 4 [d1]
Từ đồ thị, ta suy ra:
+] m > 5 hoặc m < 1: phương trình [1] có một nghiệm.
+] m = 5 hoặc m = 1 : phương trình [1] có hai nghiệm.
+] 1 < m < 5 , phương trình [1] có ba nghiệm.
d] Vì [d] vuông góc với đường thẳng \[y = - {x \over 9} + 1\] nên ta có hệ số góc bằng 9.
Ta có: \[g'[x] = 3{[x + 1]^2} - 3\]
\[g'[x] = 9 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = - 3 \hfill \cr} \right.\]
Có hai tiếp tuyến phải tìm là:
\[y 1 = 9[x 1] y = 9x 8\];
\[y + 3 = 9[x + 3] y = 9x + 24.\]
Bài 1.40 trang 34 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
a] \[{[x - 1]^2} = 2|x - k|\]
b] \[{[x + 1]^2}[2 - x] = k\]
Hướng dẫn làm bài:
a] Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
\[2[x - k] = \pm {[x - 1]^2}\]
\[ \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{ - {x^2} + 4x - 1 = 2k} \cr {{x^2} + 1 = 2k} \cr} } \right.\]
Ta vẽ đồ thị của hai hàm số: \[y = - {x^2} + 4x - 1\] và \[y = {x^2} + 1\]
Từ đồ thị ta suy ra:
2k > 3 : phương trình có hai nghiệm;
2k = 3 : phương trình có ba nghiệm;
2 < 2k < 3 : phương trình có bốn nghiệm;
2k = 2 : phương trình có ba nghiệm;
1 < 2k < 2 : phương trình có bốn nghiệm ;
2k = 1 : phương trình có ba nghiệm ;
2k < 1 : phương trình có hai nghiệm.
\[\Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{1 < k < {3 \over 2},{\rm{or}}{1 \over 2} < k < 1[1]} \cr
{k = 1,\,\,{\rm{hoặc }}\,\,\,k = {1 \over 2},\,\,{\rm{hoặc }}\,\,\,k = {3 \over 2}[2]} \cr
{k > {3 \over 2},\,\,{\rm{hoặc }}\,\,\,k < {1 \over 2}[3]} \cr} } \right.\]
[1] : phương trình có bốn nghiệm;
[2]: phương trình có ba nghiệm ;
[3]: phương trình có hai nghiệm.
b] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \[y = {[x + 1]^2}[2 - x]\].
\[y = - {x^3} + 3x + 2 \Rightarrow y' = - 3{x^2} + 3\]
\[y' = 0 \Leftrightarrow\left[ {\matrix{
{x = 1} \cr
{x = - 1} \cr} } \right.\]
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Từ đồ thị hàm số ta suy ra:
* k > 4 hoặc k < 0: phương trình có một nghiệm;
* k = 4 hoặc k = 0 : phương trình có hai nghiệm;
* 0 < k < 4: phương trình có ba nghiệm.
Bài 1.41 trang 34 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Cho hàm số: \[y = {x^3} - [m + 4]{x^2} - 4x + m\] [1]
a] Tìm các điểm mà đồ thị của hàm số [1] đi qua với mọi giá trị của m.
b] Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số [1] luôn luôn có cực trị.
c] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của [1] khi m = 0
d] Xác định k để [C] cắt đường thẳng y = kx tại ba điểm phân biệt.
Hướng dẫn làm bài:
a] \[y = {x^3} - [m + 4]{x^2} - 4x + m\]
\[ \Leftrightarrow[{x^2} - 1]m + y - {x^3} + 4{x^2} + 4x = 0\]
Đồ thị của hàm số [1] luôn luôn đi qua điểm A[x; y] với mọi m khi [x; y] là nghiệm của hệ phương trình:
\[\left\{ \matrix{
{x^2} - 1 = 0 \hfill \cr
y - {x^3} + 4{x^2} + 4x = 0 \hfill \cr} \right.\]
Giải hệ, ta được hai nghiệm:
\[\left[ \matrix{
x = 1,x = - 7 \hfill \cr
x = - 1,y = - 1 \hfill \cr} \right.\]
Vậy đồ thị của hàm số luôn luôn đi qua hai điểm [1; -7] và [-1; -1].
b] \[y' = 3{x^2} - 2[m + 4]x - 4\]
\[\Delta ' = {[m + 4]^2} + 12\]
Vì > 0 với mọi m nên y = 0 luôn luôn có hai nghiệm phân biệt [và đổi dấu khi qua hai nghiệm đó]. Từ đó suy ra đồ thị của [1] luôn luôn có cực trị.
c] Học sinh tự giải.
d] Với m = 0 ta có: y = x3 4x2 4x.
Đường thẳng y = kx sẽ cắt [C] tại ba điểm phân biệt nếu phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: x3 4x2 4x = kx.
Hay phương trình x2 4x [4 + k] = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0, tức là:
\[\left\{ \matrix{
\Delta ' = k + 8 > 0 \hfill \cr
k \ne - 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
- 8 < k < 4 \hfill \cr
- 4 < k < + \infty \hfill \cr} \right.\]