Bài 14 Trang 153 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
a] Một vật chuyển động với vận tốc \[v\left[ t \right] = 1 - 2\sin 2t\,\,\left[ {m/s} \right]\]. Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm \[t = 0\] [s] đến thời điểm \[t = {{3\pi } \over 4}\,\left[ s \right]\].
b] Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc \[v\left[ t \right] = 160 - 10t\,\left[ {m/s} \right]\]. Tính quãng đường mà vật di chuyển được từ thời điểm t=0 đến thời điểm mà vật dừng lại.
Giải.
a] Quãng đường vật di chuyển trong thời gian từ \[t=0\] [s] đến \[t = {{3\pi } \over 4}\left[ s \right]\]là: \[S = \int\limits_0^{{{3\pi } \over 4}} {\left[ {1 - 2\sin 2t} \right]dt} = \left[ {t + \cos 2t} \right]\mathop |\nolimits_0^{{{3\pi } \over 4}} \]
\[= {{3\pi } \over 4} - 1\left[ m \right]\]
b] Gọi \[{t_0}\]là thời điểm vật dừng lại, khi đó:
\[v\left[ {{t_0}} \right] = 0 \Leftrightarrow 160 - 10{t_0} = 0 \Leftrightarrow {t_0} = 16.\]
Quãng đường vật di chuyển từ \[t=0\] đến \[t=16\] là
\[S = \int\limits_0^{16} {\left[ {160t - 10t} \right]dt = \left[ {160t - 5{t^2}} \right]\mathop |\nolimits_0^6 } = 1280.\]
Bài 15 Trang 153 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc \[a = 3t + {t^2}\,\left[ {m/{s^2}} \right]\]. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tang tốc.
Giải
Gọi v[t] là vận tốc của vật. ta có: \[v'\left[ t \right] = a\left[ t \right] = 3t + {t^2}\]
Suy ra \[v\left[ t \right] = {{3{t^2}} \over 2} + {{{t^3}} \over 3} + C.\]vì \[v[0]=10\] nên suy ra \[C=10\]
Vậy \[v\left[ t \right] = {{3{t^2}} \over 2} + {{{t^3}} \over 3} + 10\]
Quãng đường vật đi được là:
\[S = \int\limits_0^{10} {\left[ {{{3{t^2}} \over 2} + {{{t^3}} \over 3} + 10} \right]dt} \]
\[= \left. {\left[ {{{{t^3}} \over 2} + {{{t^4}} \over {12}} + 10t} \right]} \right|_0^{10} = {{4300} \over 3}\left[ m \right].\]
Bài 16 Trang 153 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 25 m/s. gia tốc trọng trường là \[9,8\,m/{s^2}\].
a] Sau bao lâu viên đạn đạt tới vận tốc cao nhất.
b] Tính quãng đường viên đạn đi được tính từ lúc bắn lên cho đến khi rơi xuống đất.
Giải
a] Gọi v[t] là vận tốc của viên đạn. ta có
Suy ra \[v\left[ t \right] = - 9,8t + C.\]vì \[v[0]=25\] nên suy ra \[C=25\]
Vậy \[v\left[ t \right] = - 9,8t + 25.\]
Gọi T là thời điểm viên đạn đạt tốc độ cao nhất. tại đó vận tốc viên đạn có vận tốc bằng 0. Vậy \[v[T]=0\] suy ra \[T = {{25} \over {9,8}} \approx 2,55\,\][giây].
b] Quãng đường viên đi được cho tới thời điểm \[T=2,55\] [giây] là:
\[S = \int\limits_0^T {\left[ { - 9,8t + 25} \right]dt} \]
\[= - 9,8{{{T^2}} \over 2} + 25T \approx 31,89\,\left[ m \right]\]
Vậy quãng đường viên đạn đi được cho đến khi rơi là xuống đất là \[2S = 63,78\left[ m \right].\]