Bài 1.46 trang 36 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Cho hàm số: \[y = {{2x + 1} \over {2x - 1}}\]
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số đã cho.
b] Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị [C] với đường thẳng y = x + 2.
[Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011].
Trả lời:
a]
b] Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \[y = {{2x + 1} \over {2x - 1}}\]và y = x + 2 là nghiệm của phương trình:
\[{{2x + 1} \over {2x - 1}} = x + 2 \Leftrightarrow{{2x + 1} \over {2x - 1}} - x - 2 = 0\]
\[\LeftrightarrowA[1;3],B[ - {3 \over 2};{1 \over 2}]\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow {{ - 2{x^2} - x + 3} \over {2x - 1}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 2{x^2} - x + 3 = 0 \hfill \cr
x \ne {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \]
Với x = 1 thì y = 1 + 2 = 3 ; \[x = - {3 \over 2}\]thì \[y = - {3 \over 2} + 2 = {1 \over 2}\]
Vậy tọa độ hai giao điểm là \[A[1;3],\,\,B[ - {3 \over 2};{1 \over 2}]\]
Bài 1.47 trang 36 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Cho hàm số: \[y = {{2x + 1} \over {x - 2}}\]
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số đã cho.
b] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C] , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 5.
[Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2009]
Trả lời:
a]
b] \[y' = {{ - 5} \over {{{[x - 2]}^2}}} = - 5 \Leftrightarrow{[x - 2]^2} = 1\]
Ta có: y[1] = -3 , y[3] = 7
Từ đó ta có hai phương trình tiếp tuyến phải tìm là:
\[ y + 3 = -5[x 1] y = -5x + 2\]
\[ y 7 = -5[x 3] y = -5x + 22\]
Bài 1.48 trang 36 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Cho hàm số: \[y = {{4 - x} \over {2x + 3m}}\]
a] Xét tính đơn điệu của hàm số.
b] Chứng minh rằng với mọi m, tiệm cận ngang của đồ thị [Cm] của hàm số đã cho luôn đi qua điểm \[B[ - {7 \over 4}; - {1 \over 2}]\].
c] Biện luận theo m số giao điểm của [Cm] và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
d] Vẽ đồ thị của hàm số: \[y = |{{4 - x} \over {2x + 3}}|\]
Hướng dẫn làm bài:
Xét hàm số\[y = {{4 - x} \over {2x + 3m}}\]
a] TXĐ: \[R\backslash {\rm{\{ }} - {{3m} \over 2}{\rm{\} }}\]
\[y' = {{ - 2x - 3m - 2[4 - x]} \over {{{[2x + 3m]}^2}}} = {{ - 3m - 8} \over {{{[2x + 3m]}^2}}}\]
+] Nếu \[m < - {8 \over 3},y' > 0\] suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng \[[ - \infty ; - {{3m} \over 2}],[ - {{3m} \over 2}; + \infty ]\]
+] Nếu \[m > - {8 \over 3},y' < 0\]suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng \[[ - \infty ; - {{3m} \over 2}],[ - {{3m} \over 2}; + \infty ]\]
+] Nếu \[m = - {8 \over 3}\] thì \[y = - {1 \over 2}\]khi \[x \ne 4\]
b] Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{4 - x} \over {2x + 3m}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{4 \over x} - 1} \over {2 + {{3m} \over x}}} = - {1 \over 2}\]
nên với mọi m, đường thẳng \[y = - {1 \over 2}\]là tiệm cận ngang và đi qua \[B[ - {7 \over 4}; - {1 \over 2}]\] .
c] Số giao điểm của [Cm] và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là số nghiệm của phương trình \[{{4 - x} \over {2x + 3m}} = x\]
Ta có: \[{{4 - x} \over {2x + 3m}} = x \Leftrightarrow4 - x = 2{x^2} + 3mx\]với \[x \ne - {{3m} \over 2}\]
\[ \Leftrightarrow2{x^2} + [3m + 1]x - 4 = 0\]với \[x \ne - {{3m} \over 2}\]
+] Thay \[x = - {{3m} \over 2}\]vào [*] , ta có:
\[\eqalign{
& 2.{[ - {{3m} \over 2}]^2} - {{9{m^2}} \over 2} - {{3m} \over 2} - 4\cr&= {{9{m^2}} \over 2} - {{9{m^2}} \over 2} - {{3m} \over 2} - 4 \ne 0 \cr & = > m \ne - {8 \over 3} \cr} \]
Như vậy, để \[x = - {{3m} \over 2}\] không là nghiệm của phương trình [*], ta phải có \[m \ne - {8 \over 3}\].
Ta có: \[\Delta = {[3m + 1]^2} + 32 > 0,\forall m\]. Từ đó suy ra với \[m \ne - {8 \over 3}\]đường thẳng y = x luôn cắt [Cm] tại hai điểm phân biệt.
d] Ta có:
\[\eqalign{
& y = |{{4 - x} \over {2x + 3}}| \cr
& = \left\{ \matrix{
{{4 - x} \over {2x + 3}},{{4 - x} \over {2x + 3}} \ge 0 \hfill \cr
- {{4 - x} \over {2x + 3}},{{4 - x} \over {2x + 3}} < 0 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Trước hết, ta vẽ đồ thị [C] của hàm số \[y = {{4 - x} \over {2x + 3}}\]. TXĐ: \[D = R\backslash {\rm{\{ }} - {3 \over 2}{\rm{\} }}\].
Vì \[y' = {{ - 11} \over {{{[2x + 3]}^2}}} < 0\] với mọi nên hàm số nghịch biến trên các khoảng \[[ - \infty ; - {3 \over 2}];[ - {3 \over 2}; + \infty ]\].
Bảng biến thiên:
Tiệm cận đứng \[x = - {3 \over 2}\]
Tiệm cận ngang \[y = - {1 \over 2}\]
Đồ thị [C] đi qua các điểm \[\left[ { - 2;{\rm{ }} - 6} \right],{\rm{ }}\left[ { - 1;{\rm{ }}5} \right],[0;{4 \over 3}],[4;0]\]
Để vẽ đồ thị [C] của hàm số , ta giữ nguyên phần đồ thị [C] nằm phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị [C] nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.