Câu 15 trang 158 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CK. Chứng minh rằng:
a] Bốn điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn;
b] HK < BC.
Giải:
a] Gọi M là trung điểm của BC
Tam giác BCH vuông tại H có HM là đường
trung tuyến nên:
\[HM = {1 \over 2}BC\] [tính chất tam giác vuông]
Tam giác BCK vuông tại K có KM là đường
trung tuyến nên:
\[KM = {1 \over 2}BC\] [tính chất tam giác vuông]
Suy ra: MB = MC = MH = MK.
Vậy bốn điểm B, C, H, K cùng nằm trên một đường tròn tâm M bán kính bằng \[{1 \over 2}BC\].
b] Trong đường tròn tâm M ta có KH là dây cung không đi qua tâm, BC là đường kính nên: KH < BC.
Câu 16 trang 159 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Tứ giác ABCD có \[\widehat B = \widehat D = 90^\circ \].
a] Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
b] So sánh độ dài AC và BD. Nếu AC = BD thì tứ giác ABCD là hình gì?
Giải:
a] Gọi M là trung điểm của AC.
Tam giác ABC vuông tại B có BM là đường trung tuyến nên:
\[BM = {1 \over 2}AC\] [tính chất tam giác vuông]
Tam giác ACD vuông tại D có DM là đường trung tuyến nên:
\[DM = {1 \over 2}AC\] [tính chất tam giác vuông]
Suy ra: MA = MB = MC = MD.
Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn tâm M bán kính bằng \[{1 \over 2}AC\].
b] BD là dây của đường tròn [I], còn AC là đường kính nên AC BD
AC = BD khi và chỉ khi BD cũng là đường kính, khi đó ABCD là hình chữ nhật
Câu 17 trang 159 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và dây EF không cắt đường kính. Gọi I và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến EF. Chứng minh rằng IE = KF.
Giải:
Ta có: AI EF [gt]
BK EF [gt]
Suy ra: AI // BK
Suy ra tứ giác ABKI là hình thang
Kẻ OH EF
Suy ra: OH // AI // BK
Ta có: OA = OB [= R]
Suy ra: HI = HK
Hay: HE + EI = HF+FK [1]
Lại có: HE = HF [đường kính dây cung] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: IE = KF.
Câu 18 trang 159 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho đường tròn [O] có bán kính OA = 3cm. Dây BC của đường tròn vuông góc với OA tại trung điểm của OA. Tính độ dài BC.
Giải:
Gọi I là trung điểm của AB
Suy ra: \[IO = IA = {1 \over 2}OA = {3 \over 2}\]
Ta có: BC OA [gt]
Suy ra: \[\widehat {OIB} = 90^\circ \]
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OIB ta có: \[O{B^2} = B{I^2} + I{O^2}\]
suy ra: \[B{I^2} = O{B^2} - I{O^2}\]
\[={3^2} - {\left[ {{3 \over 2}} \right]^2} = 9 - {9 \over 4} = {{27} \over 4}\]
\[BI ={{3\sqrt 3 } \over 2}\] [cm]
Ta có: BI = CI [đường kính dây cung]
Suy ra: \[BC = 2BI=2.{{3\sqrt 3 } \over 2} = 3\sqrt 3 \] [cm]