Câu 15 trang 7 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Chứng minh:
a] \[9 + 4\sqrt 5 = {\left[ {\sqrt 5 + 2} \right]^2}\];
b] \[\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } - \sqrt 5 = - 2\];
c] \[{\left[ {4 - \sqrt 7 } \right]^2} = 23 - 8\sqrt 7 \];
d] \[\sqrt {23 + 8\sqrt 7 } - \sqrt 7 = 4.\]
Gợi ý làm bài
a] Ta có:
VT = \[\eqalign{
& 9 + 4\sqrt 5 = 4 + 2.2\sqrt 5 + 5 \cr
& = {2^2} + 2.2\sqrt 5 + {\left[ {\sqrt 5 } \right]^2} = {\left[ {2 + \sqrt 5 } \right]^2} \cr} \]
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
b] Ta có:
VT = \[\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } - \sqrt 5 = \sqrt {5 - 2.2\sqrt 5 + 4} - \sqrt 5 \]
\[\eqalign{
& = \sqrt {{{\left[ {\sqrt 5 } \right]}^2} - 2.2\sqrt 5 + {2^2}} - \sqrt 5 \cr
& = \sqrt {{{\left[ {\sqrt 5 - 2} \right]}^2}} - \sqrt 5 \cr} \]
\[\left| {\sqrt 5 - 2} \right| - \sqrt 5 = \sqrt 5 - 2 - \sqrt 5 = - 2\]
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
c] Ta có:
VT = \[\eqalign{
& {\left[ {4 - \sqrt 7 } \right]^2} = {4^2} - 2.4.\sqrt 7 + {\left[ {\sqrt 7 } \right]^2} \cr
& = 16 - 8\sqrt 7 + 7 = 23 - 8\sqrt 7 \cr} \]
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
d] Ta có:
VT = \[\eqalign{
& \sqrt {23 + 8\sqrt 7 } - \sqrt 7 \cr
& = \sqrt {16 + 2.4.\sqrt 7 + 7} - \sqrt 7 \cr} \]
= \[\eqalign{
& \sqrt {{4^2} + 2.4.\sqrt 7 + {{\left[ {\sqrt 7 } \right]}^2}} - \sqrt 7 \cr
& = \sqrt {{{\left[ {4 + \sqrt 7 } \right]}^2}} - \sqrt 7 \cr} \]
= \[\left| {4 + \sqrt 7 } \right| - \sqrt 7 = 4 + \sqrt 7 - \sqrt 7 = 4\]
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
Câu 16 trang 7 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Biểu thức sau đây xác định với giá trị nào của x ?
a]\[\sqrt {[x - 1][x - 3]} \];
b]\[\sqrt {{x^2} - 4} \];
c] \[\sqrt {{{x - 2} \over {x + 3}}} \];
d] \[\sqrt {{{2 + x} \over {5 - x}}} \].
Gợi ý làm bài
a] Ta có:\[\sqrt {[x - 1][x - 3]} \] xác định khi và chỉ khi :
\[[x - 1][x - 3] \ge 0\]
Trường hợp 1:
\[\left\{ \matrix{
x - 1 \ge 0 \hfill \cr
x - 3 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 1 \hfill \cr
x \ge 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 3\]
Trường hợp 2:
\[\left\{ \matrix{
x - 1 \le 0 \hfill \cr
x - 3 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le 1 \hfill \cr
x \le 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le 1\]
Vậy với x 1 hoặc x 3 thì\[\sqrt {[x - 1][x - 3]} \] xác định.
b] Ta có:\[\sqrt {{x^2} - 4} \] xác định khi và chỉ khi:
\[\eqalign{
& {x^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \ge 4 \cr
& \Leftrightarrow \left| x \right| \ge 2 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \ge 2 \hfill \cr
x \le - 2 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy với x -2 hoặc x 2 thì\[\sqrt {{x^2} - 4} \] xác định.
c] Ta có: \[\sqrt {{{x - 2} \over {x + 3}}} \] xác định khi và chỉ khi:
Trường hợp 1:
\[\left\{ \matrix{
x - 2 \ge 0 \hfill \cr
x + 3 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 2 \hfill \cr
x > - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 2\]
Trường hợp 2:
\[\left\{ \matrix{
x - 2 \le 0 \hfill \cr
x + 3 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le 2 \hfill \cr
x < - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x < - 3\]
Vậy với x < -3 hoặc x 2 thì \[\sqrt {{{x - 2} \over {x + 3}}} \] xác định.
d] Ta có: \[\sqrt {{{2 + x} \over {5 - x}}} \] xác định khi và chỉ khi \[{{2 + x} \over {5 - x}} \ge 0\]
Trường hợp 1:
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
2 + x \ge 0 \hfill \cr
5 - x > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge - 2 \hfill \cr
x < 5 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow - 2 \le x < 5 \cr} \]
Trường hợp 2:
\[\left\{ \matrix{
2 + x \le 0 \hfill \cr
5 - x < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le - 2 \hfill \cr
x > 5 \hfill \cr} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \] vô nghiệm.
Vậy với -2 x < 5 thì \[\sqrt {{{2 + x} \over {5 - x}}} \] xác định
Câu 17 trang 8 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Tìm x, biết:
a]\[\sqrt {9{x^2}} = 2x + 1\];
b]\[\sqrt {{x^2} + 6x + 9} = 3x - 1\];
c] \[\sqrt {1 - 4x + 4{x^2}} = 5\];
d]\[\sqrt {{x^4}} = 7\].
Gợi ý làm bài
a] Ta có:
\[\eqalign{
& \sqrt {9{x^2}} = 2x + 1 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {{{\left[ {3x} \right]}^2}} = 2x + 1 \cr
& \Leftrightarrow \left| {3x} \right| = 2x + 1 \cr} \] [1]
Trường hợp 1:
\[3x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0 \Rightarrow \left| {3x} \right| = 3x\]
Suy ra:
\[3x = 2x + 1 \Leftrightarrow 3x - 2x = 1 \Leftrightarrow x = 1\]
Giá trị x = 1 thỏa mãn điều kiện x 0.
Vậy x = 1 là nghiệm của phương trình [1].
Trường hợp 2:
\[3x < 0 \Leftrightarrow x < 0 \Rightarrow \left| {3x} \right| = - 3x\]
Suy ra :
\[\eqalign{
& - 3x = 2x + 1 \Leftrightarrow - 3x - 2x = 1 \cr
& \Leftrightarrow - 5x = 1 \Leftrightarrow x = - {1 \over 5} \cr} \]
Giá trị \[x = - {1 \over 5}\] thỏa mãn điều kiện x < 0.
Vậy \[x = - {1 \over 5}\] là nghiệm của phương trình [1].
Vậy x = 1 và \[x = - {1 \over 5}\]
b]Ta có :
\[\sqrt {{x^2} + 6x + 9} = 3x - 1\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow \sqrt {{{\left[ {x + 3} \right]}^2}} = 3x - 1 \cr
& \Leftrightarrow \left| {x + 3} \right| = 3x - 1\,\,\,\,\,\,\,[1] \cr} \]
Trường hợp 1:
\[\eqalign{
& x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 3 \cr
& \Rightarrow \left| {x + 3} \right| = x + 3 \cr} \]
Suy ra :
\[\eqalign{
& x + 3 = 3x - 1 \cr
& \Leftrightarrow x - 3x = - 1 - 3 \cr
& \Leftrightarrow - 2x = - 4 \Leftrightarrow x = 2 \cr} \]
Giá trị x = 2 thỏa mãn điều kiện x -3.
Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình [2].
Trường hợp 2:
\[\eqalign{
& x + 3 < 0 \Leftrightarrow x < - 3 \cr
& \Rightarrow \left| {x + 3} \right| = - x - 3 \cr} \]
Suy ra:
\[\eqalign{
& - x - 3 = 3x - 1 \cr
& \Leftrightarrow - x - 3x = - 1 + 3 \cr
& \Leftrightarrow - 4x = 2 \Leftrightarrow x = - 0,5 \cr} \]
Giá trị x = -0,5 không thỏa mãn điều kiện x < -3 : loại.
Vậy x = 2.
Ta có:
\[\eqalign{
& \sqrt {1 - 4x - 4{x^2}} = 5 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {{{\left[ {1 - 2x} \right]}^2}} = 5 \cr
& \Leftrightarrow \left| {1 - 2x} \right| = 5 \cr} \] [3]
Trường hợp 1:
\[\eqalign{
& 1 - 2x \ge 0 \Leftrightarrow 2x \le 1 \Leftrightarrow x \le {1 \over 2} \cr
& \Rightarrow \left| {1 - 2x} \right| = 1 - 2x \cr} \]
Suy ra:
\[\eqalign{
& 1 - 2x = 5 \Leftrightarrow - 2x = 5 - 1 \cr
& \Leftrightarrow x = - 2 \cr} \]
Giá trị x = -2 thỏa mãn điều kiện \[x \le {1 \over 2}\]
Vậy x = -2 là nghiệm của phương trình [3].
Trường hợp 2:
\[\eqalign{
& 1 - 2x < 0 \Leftrightarrow 2x > 1 \Leftrightarrow x > {1 \over 2} \cr
& \Rightarrow \left| {1 - 2x} \right| = 2x - 1 \cr} \]
Suy ra:
\[2x - 1 = 5 \Leftrightarrow 2x = 5 + 1 \Leftrightarrow x = 3\]
Giá trị x = 3 thỏa mãn điều kiện \[x > {1 \over 2}\]
Vậy x = 3 là nghiệm của phương trình [3].
Vậy x = -2 và x = 3.
d] Ta có:
\[\eqalign{
& \sqrt {{x^4}} = 7 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left[ {{x^2}} \right]}^2}} = 7 \cr
& \Leftrightarrow \left| {{x^2}} \right| = 7 \Leftrightarrow {x^2} = 7 \cr} \]
Vậy \[x = \sqrt 7 \] và \[x = - \sqrt 7 \]