Bài 1.55 trang 45 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Cho hai điểm A và B. Điểm M thỏa mãn điều kiện\[\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right|\].Chứng minh rằng:\[OM = {1 \over 2}AB\], trong đó O là trung điểm của AB.
Gợi ý làm bài
[h.1.68]
\[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MO} = > \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = 2MO\]
\[\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA} = > \left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right| = AB\]
Vậy 2MO = AB hay\[OM = {1 \over 2}AB.\]
Chú ý:Tập hợp các điểm M có tính chất\[\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right|\] là đường tròn đường kính AB.
Bài 1.56 trang 45 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng vec tơ\[\overrightarrow v = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - 2\overrightarrow {MC} \] không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Hãy xác định điểm D sao cho\[\overrightarrow {CD} = \overrightarrow v \].
Gợi ý làm bài
\[\overrightarrow v = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - 2\overrightarrow {MC}\]
\[ = 2\overrightarrow {ME} - 2\overrightarrow {MC} \] [E là trung điểm cạnh AB]
\[ = 2[\overrightarrow {ME} - \overrightarrow {MC} ] = 2\overrightarrow {EC} \]
Vậy\[\overrightarrow v \] không phụ thuộc vị trí của điểm M.
\[\overrightarrow {CD} = \overrightarrow v = 2\overrightarrow {CE} \] thì E là trung điểm của CD. Vậy ta xác định được điểm D.
Bài 1.57 trang 46 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Cho tam giác ABC. Gọi M, N , P là những điểm được xác định như sau:
\[\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} ,\overrightarrow {NC} = 3\overrightarrow {NA} ,\overrightarrow {PA} = 3\overrightarrow {PB} \]
a] Chứng minh\[2\overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} \] với mọi điểm O.
b] Chứng minh hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.
Gợi ý làm bài
[Xem h.1.69]
a]$\[3\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} = 3[\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MC} ] - [\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MB} ]\]
\[= 3[\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OM} ] + [3\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MB} ] = 2\overrightarrow {OM} \]
b] Gọi S, Q và R lần lượt là trung điểm của BC, CA và AB.
\[\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} = > \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {SC} \]
\[\overrightarrow {NC} = 3\overrightarrow {NA} = > \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {CQ} \]
\[\overrightarrow {PA} = 3\overrightarrow {PB} = > \overrightarrow {BP} = \overrightarrow {RB} = \overrightarrow {QS} \]
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì\[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0\]
Ta có:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} \cr
& = \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BP} \cr} \]
\[\overrightarrow { = [GA} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GC} ] + [\overrightarrow {SC} + \overrightarrow {CQ} + \overrightarrow {QS} ]\]
\[ = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 \]
Vậy G là trọng tâm của tam giác MNP.