Bài 1.56 trang 38 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Cho hàm số \[y = {{3[x + 1]} \over {x - 2}}\]
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số.
b] Viết phương trình các đường thẳng đi qua O[0;0] và tiếp xúc với [C] .
c] Tìm tất cả các điểm trên [C] có tọa độ là các số nguyên.
Hướng dẫn làm bài:
a]
b] Cách 1.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M0[x0; y0] là:
y y0 = y[x0][x x0]
Trong đó \[y'[{x_0}] = {{ - 9} \over {{{[{x_0} - 2]}^2}}}\]. Ta có:
\[y = - {9 \over {{{[{x_0} - 2]}^2}}}[x - {x_0}] + {y_0}\] với \[{y_0} = {{3[{x_0} + 1]} \over {{x_0} - 2}}\]
Để đường thẳng đó đi qua O[0; 0], điều kiện cần và đủ là:
\[{{9{x_0}} \over {{{[{x_0} - 2]}^2}}} + {{3[{x_0} + 1]} \over {{x_0} - 2}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_0} \ne 2 \hfill \cr
{x_0}^2 + 2{x_0} - 2 = 0 \hfill \cr} \right.\]
\[ \Leftrightarrow{x_0} = - 1 \pm \sqrt 3 \]
+] Với \[{x_0} = - 1 + \sqrt 3 \], ta có phương trình tiếp tuyến: \[y = - {3 \over 2}[2 + \sqrt 3 ]x\]
+] Với \[{x_0} = - 1 - \sqrt 3 \], ta có phương trình tiếp tuyến: \[y = - {3 \over 2}[2 - \sqrt 3 ]x\].
Cách 2.
Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O có dạng y = kx.
Để xác định tọa độ tiếp điểm của hai đường: \[y = {{3[x + 1]} \over {x - 2}}\] và y = kx , ta giải hệ:
\[\left\{ \matrix{
{{3[x + 1]} \over {x - 2}} = kx \hfill \cr
- {9 \over {{{[x - 2]}^2}}} = k \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{{3[x + 1]} \over {x - 2}} + {{9x} \over {{{[x - 2]}^2}}} = 0 \hfill \cr
- {{3[x + 1]} \over {x - 2}} = k \hfill \cr} \right.\]
Giải phương trình thứ nhất ta được: \[x = - 1 \pm \sqrt 3 \]
Thay vào phương trình thứ hai ta có:
\[{k_1} = - {3 \over 2}[2 + \sqrt 3 ];{k_2} = - {3 \over 2}[2 - \sqrt 3 ]\]
Từ đó có hai phương trình tiếp tuyến là: \[y = - {3 \over 2}[2 + \sqrt 3 ]x\]và \[y = - {3 \over 2}[2 - \sqrt 3 ]x\]
c] Để tìm trên [C] các điểm có tọa độ nguyên ta có:
\[y = {{3[x + 1]} \over {x - 2}} \Leftrightarrowy = 3 + {9 \over {x - 2}}\]
Điều kiện cần và đủ để \[M[x,y] \in [C]\]có tọa độ nguyên là:
\[\left\{ \matrix{
x \in Z \hfill \cr
{9 \over {x - 2}} \in Z \hfill \cr} \right.\]
tức [x 2] là ước của 9.
Khi đó, x 2 nhận các giá trị \[\pm 1; \pm 3; \pm 9\]hay x nhận các giá trị 1; 3; -1; 5; -7; 11.
Do đó, ta có 6 điểm trên [C] có tọa độ nguyên là: [1; -6], [3; 12], [-1; 0], [5; 6], [-7; 2], [11; 4].
Bài 1.57 trang 38 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số.
\[y = {{x + 2} \over {x - 3}}\]
b] Chứng minh rằng giao điểm I của hai tiệm cận của [C] là tâm đối xứng của [C].
c] Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
Hướng dẫn làm bài:
a]
b] Tiệm cận đứng là đường thẳng x = 3.
Tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1.
Do đó, giao điểm của hai đường tiệm cận là I[3; 1]. Thực hiện phép biến đổi:
\[\left\{ \matrix{
x = X + 3 \hfill \cr
y = Y + 1 \hfill \cr} \right.\]
Ta được \[Y + 1 = {{X + 5} \over X} \LeftrightarrowY = {{X + 5} \over X} - 1 \LeftrightarrowY = {5 \over X}\]
Vì \[Y = {5 \over X}\]là hàm số lẻ nên đồ thị [C] của hàm số này có tâm đối xứng là gốc tọa độ I của hệ tọa độ IXY.
c] Giả sử \[M[{x_0};{y_0}] \in [C]\]. Gọi d1 là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và d2 là khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang, ta có:
\[{d_1} = |{x_0} - 3|,{d_2} = |{y_0} - 1| = {5 \over {|{x_0} - 3|}}\]
Có hai điểm thỏa mãn đầu bài, đó là hai điểm có hoành độ \[{x_0} = 3 \pm \sqrt 5 \]
Bài 1.58 trang 38 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Chứng minh rằng phương trình: 3x5 + 15x 8 = 0 chỉ có một nghiệm thực.
Hướng dẫn làm bài:
Hàm số 3x5+ 15x 8 = 0là hàm số liên tục và có đạo hàm trên R.
Vì \[f[0] = - 8 < 0,f[1] = 10 > 0\]nên tồn tại một số \[{x_0} \in [0;1]\]sao cho f[x0] = 0, tức là phương trình f[x] = 0 có nghiệm.
Mặt khác, ta có \[y' = 15{x^4} + 5 > 0,\forall x \in R\]nên hàm số đã cho luôn luôn đồng biến. Vậy phương trình đó chỉ có một nghiệm.