Câu 17 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm hệ số của \[{x^{101}}{y^{99}}\] trong khai triển \[{\left[ {2x - 3y} \right]^{200}}\]
Giải:
Ta có:
\[{\left[ {2x - 3y} \right]^{200}} = \sum\limits_{k = 0}^{200} {C_{200}^k{{\left[ {2x} \right]}^{200 - k}}{{\left[ { - 3y} \right]}^k}} \]
Số hạng chứa \[{x^{101}}{y^{99}}\]ứng với \[k = 99\], đó là : \[C_{200}^{99}.{\left[ {2x} \right]^{101}}{\left[ { - 3y} \right]^{99}}\]
Vậy hệ số của \[{x^{101}}{y^{99}}\] là\[C_{200}^{99}.{\left[ {2} \right]^{101}}{\left[ { - 3} \right]^{99}}\]
Câu 18 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tính hệ số của \[{x^5}{y^8}\] trong khai triển \[{\left[ {x + y} \right]^{13}}\]
Giải:
Ta có:
\[{\left[ {x + y} \right]^{13}} = \sum\limits_{k = 0}^{13} {C_{13}^k{x^{13 - k}}{y^k}} \]
Số hạng chứa \[{x^5}{y^8}\]ứng với \[k = 8\] đó là \[C_{13}^8{x^5}{y^8}.\]
Vậy hệ số của \[{x^5}{y^8}\,\text{ là }\,C_{13}^8 = 1287\]
Câu 19 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tính hệ số của \[{x^7}\] trong khai triển \[{\left[ {1 + x} \right]^{11}}\]
Giải:
\[{\left[ {1 + x} \right]^{11}} = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k{x^k}{{.1}^{11 - k}}} \]
Hệ số \[{x^7}\]trong khai triển \[{\left[ {1 + x} \right]^{11}}\text{ là }\,C_{11}^7 = 330.\]
Câu 20 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tính hệ số của \[{x^9}\] trong khai triển \[{\left[ {2 - x} \right]^{19}}\]
Giải
Ta có:
\[{\left[ {2 - x} \right]^{19}} = \sum\limits_{k = 0}^{19} {C_{19}^k{2^{19 - k}}{{\left[ { - x} \right]}^k}} \]
Hệ số của \[{x^9}\]là\[ - C_{19}^9{2^{10}} = - 94595072\] [ứng với\[ k = 9\]]
Câu 21 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Khai triển \[{\left[ {3x + 1} \right]^{10}}\] cho tới x3.
Giải
Ta có:
\[\eqalign{
& {\left[ {3x + 1} \right]^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left[ {3x} \right]}^k} = 1 + C_{10}^1\left[ {3x} \right] + C_{10}^2{{\left[ {3x} \right]}^2} + C_{10}^3{{\left[ {3x} \right]}^3} + ...} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 + 30x + 405{x^2} + 3240{x^3} + ... \cr} \]
Câu 22 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm hệ số của \[{x^7}\] trong khai triển của \[{\left[ {3 - 2x} \right]^{15}}\]
Giải
Ta có:
\[{\left[ {3 - 2x} \right]^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{3^{15 - k}}{{\left[ { - 2x} \right]}^k}} \]
Hệ số của \[x^7\] à :\[C_{15}^7{.3^8}{\left[ { - 2} \right]^7} = - C_{15}^7{.3^8}{.2^7}\] [ứng với \[k = 7\]]
Câu 23 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tính hệ số của \[{x^{25}}{y^{10}}\] trong khai triển của \[{\left[ {{x^3} + xy} \right]^{15}}\]
Giải:
Ta có:
\[{\left[ {{x^3} + xy} \right]^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{{\left[ {{x^3}} \right]}^{15 - k}}{{\left[ {xy} \right]}^k}} \]
Số hạng chứa \[{x^{25}}{y^{10}}\]ứng với k = 10 đó là :
\[C_{15}^{10}{\left[ {{x^3}} \right]^5}{\left[ {xy} \right]^{10}} = C_{15}^{10}{x^{25}}{y^{10}}\]
Vậy hệ số của \[{x^{25}}{y^{10}}\,la\,C_{15}^{10} = 3003\]
Câu 24 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Biết rằng hệ số của \[{x^{n - 2}}\] trong khai triển \[{\left[ {x - {1 \over 4}} \right]^n}\] bằng \[31\]. Tìm \[n\].
Giải:
Ta có:
\[{\left[ {x - {1 \over 4}} \right]^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^{n - k}}{{\left[ { - {1 \over 4}} \right]}^k}} \]
Hệ số của \[x^{n-2}\] là \[C_n^2{\left[ { - {1 \over 4}} \right]^2} = 31 \Rightarrow {{n\left[ {n - 1} \right]} \over 2} = 16.31 \Rightarrow n = 32\]