Câu 18 trang 102 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 2
Cho đường tròn [O] và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M vẽ một cát tuyến bất kì cắt đường tròn ở A và B. Chứng minh rằng tích MA.MB không đổi.
Giải
Trường hợp M ở bên trong đường tròn [O]
Kẻ cát tuyến AB bất kỳ và kẻ đường thẳng MO cắt đường tròn tại C và D.
Xét hai MAC và MBD:
\[\widehat {AMC} = \widehat {BMD}\] [đối đỉnh]
\[\widehat A = \widehat D\] [hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[\overparen{BC}\]
Suy ra: MAC đồng dạng MDB [g.g]
\[ \Rightarrow {{MB} \over {MC}} = {{MD} \over {MA}}\]
\[ \Rightarrow MA.MB = MC.MD\] [1]
Vì M, O cố định suy ra điểm C và D cố định nên độ dài của các đoạn MC và MD không đổi \[ \Rightarrow \] tích MC.MD không đổi [2]
Từ [1] và [2] suy ra tích MA. MB không đổi khi cát tuyến AB thay đổi.
Trường hợp điểm M ở ngoài đường tròn [O]
Kẻ cát tuyến MAB bất kỳ của [O] và đường thẳng MO cắt đường tròn [O] tại C và D
Xét MAD và MCB:
\[\widehat M\] chung
\[\widehat B = \widehat D\] [hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[\overparen{AC}\]]
Suy ra: MAD đồng dạng MCB [g.g]
\[ \Rightarrow {{MC} \over {MA}} = {{MB} \over {MD}} \Rightarrow MA.MB = MC.MD\] [3]
Vì M và O cố định suy ra điểm C, D cố định nên độ dài của các đoạn MC và MD không đổi \[ \Rightarrow \] tích MC. MD không đổi [4]
Từ [3] và [4] suy ra tích MA. MB không đổi khi cát tuyến MAB thay đổi.
Câu 19 trang 102 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 2
Để giúp xe lửa chuyển từ một đường ray từ hướng này sang một đường ray theo hướng khác, người ta làm xen giữa một đoạn đường ray hình vòng cung [hình 1]. Biết chiều rộng của đường ray là AB \[ \approx 1,1m\], đoạn BC \[ \approx 28,4m\]. Hãy tính bán kính OA = R của đoạn đường ray hình vòng cung.
Giải
Ta xem hai đoạn đường ray thẳng là tiếp tuyến của hai đoạn đường ray vòng cung.
Điểm B cố định nằm trong đường tròn có cung \[\overparen{AC}\].
Đường thẳng OB cắt đường tròn đó tại A và A.
A cố định và A cố định
B là tiếp điểm cung nhỏ trong nên BC là tiếp tuyến của đường tròn [O; OB]
\[ \Rightarrow BC \bot OB\]. Kéo dài BC cắt đường tròn [O; OA] tại C
\[ \Rightarrow BC = BC'\] [đường kính vuông góc dây cung]
Xét BAC và BA'C:
\[\widehat {ABC} = \widehat {C'BA'}\] [đối đỉnh]
\[\widehat {ACB} = \widehat {C'A'B}\] [2 góc nội tiếp cùng chắn cung \[\overparen{AC'}\]]
Suy ra: BAC đồng dạng BC'A' [g.g]
\[ \Rightarrow {{BC'} \over {AB}} = {{BA'} \over {BC}}\]
\[ \Rightarrow BC.BC' = AB.BA'\] mà BC = BC; BA = 2R AB
Suy ra: \[B{C^2} = AB\left[ {2R - AB} \right]\]
\[{\left[ {28,4} \right]^2} \approx 1,1.\left[ {2R - 1,1} \right]\]
\[ \Rightarrow 2,2R \approx 806,56 + 1,21\]
\[R \approx 807,77:2,2 = 367,2\] [m].
Câu 20 trang 102 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 2
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn [O] và M là một điểm của cung nhỏ BC. Trên MA lấy điểm D sao cho MD = MB.
a] Hỏi tam giác MBD là tam giác gì?
b] So sánh hai tam giác BDA và BMC.
c] Chứng minh rằng MA = MB + MC.
Giải
a] MB = MD [gt] \[ \Rightarrow \] MBD cân tại M
\[\widehat {AMB} = \widehat {ACB}\] [2 góc nội tiếp cùng chắn cung \[\overparen{AB}\]]
Mà \[\widehat {ACB} = {60^0}\] [vì ABC đều]
\[ \Rightarrow \widehat {AMB} = {60^0}\] hay \[\widehat {DMB} = {60^0}\]
Vậy MBD đều
b] MBD đều
\[ \Rightarrow \widehat {DBC} + \widehat {CBM} = \widehat {DBM} = {60^0}\] [1]
ABC đều \[ \Rightarrow \widehat {ABD} + \widehat {DBC} = \widehat {ABC} = {60^0}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[\widehat {CBM} = \widehat {ABD}\]
Xét BDA và BMC:
BA = BC [gt]
\[\widehat {ABD} = \widehat {CBM}\] [chứng minh trên]
BD = BM [vì MBD đều]
Suy ra: BDA = BMC [c.g.c]
c] BDA = BMC [chứng minh trên]
\[ \Rightarrow DA = MC\]
Ta có: MB = MD [gt] mà AM = AD + DM
Suy ra: MA = MD + MC.