Câu 18 trang 8 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Phân tích thành nhân tử:
a] \[{x^2} - 7\];
b] \[{x^2} - 2\sqrt 2 x + 2\];
c] \[{x^2} + 2\sqrt {13} x + 13\].
Gợi ý làm bài
a] Ta có:
\[\eqalign{
& {x^2} - 7 = {x^2} - {\left[ {\sqrt 7 } \right]^2} \cr
& = \left[ {x + \sqrt 7 } \right]\left[ {x - \sqrt 7 } \right] \cr} \]
b] Ta có:
\[\eqalign{
& {x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 \cr
& = {x^2} - 2.x.\sqrt 2 + {\left[ {\sqrt 2 } \right]^2} \cr
& = {\left[ {x - \sqrt 2 } \right]^2} \cr} \]
c] Ta có:
\[\eqalign{
& {x^2} + 2\sqrt {13} x + 13 \cr
& = {x^2} + 2.x.\sqrt {13} + {\left[ {\sqrt {13} } \right]^2} \cr
& = {\left[ {x + \sqrt {13} } \right]^2} \cr} \]
Câu 19 trang 8 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Rút gọn các phân thức:
a] \[{{{x^2} - 5} \over {x + \sqrt 5 }}\] [với \[x \ne - \sqrt 5 \]]
b] \[{{{x^2} + 2\sqrt 2 x + 2} \over {{x^2} - 2}}\] [với \[x \ne \pm \sqrt 2 \] ]
Gợi ý làm bài
a] \[\eqalign{
& {{{x^2} - 5} \over {x + \sqrt 5 }} = {{{x^2} - {{\left[ {\sqrt 5 } \right]}^2}} \over {x + \sqrt 5 }} \cr
& = {{\left[ {x - \sqrt 5 } \right]\left[ {x + \sqrt 5 } \right]} \over {x + \sqrt 5 }} = x - \sqrt 5 \cr} \]
[với \[x \ne - \sqrt 5 \]]
b] \[\eqalign{
& {{{x^2} + 2\sqrt 2 x + 2} \over {{x^2} - 2}} \cr
& = {{{x^2} + 2.x.\sqrt 2 + {{\left[ {\sqrt 2 } \right]}^2}} \over {\left[ {x + \sqrt 2 } \right]\left[ {x - \sqrt 2 } \right]}} \cr
& = {{x + \sqrt 2 } \over {x - \sqrt 2 }} \cr} \]
[với \[x \ne \pm \sqrt 2 \] ]
Câu 20 trang 8 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
So sánh [không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi]:
a] \[6 + 2\sqrt 2 \] và 9;
b] \[\sqrt 2 + \sqrt 3 \] và 3;
c] \[9 + 4\sqrt 5 \] và 16;
d] \[\sqrt {11} - \sqrt 3 \] và 2.
Gợi ý làm bài
a] \[6 + 2\sqrt 2 \] và 9
Ta có : 9 = 6 + 3
So sánh: \[2\sqrt 2 \] và 3 vì \[2\sqrt 2 \] > 0 và 3 > 0
Ta có: \[{\left[ {2\sqrt 2 } \right]^2} = {2^2}{\left[ {\sqrt 2 } \right]^2} = 4.2 = 8\]
\[{3^2} = 9\]
Vì 8 < 9 nên \[{\left[ {2\sqrt 2 } \right]^2} < {3^2} \Rightarrow 2\sqrt 2 < 3\]
Vậy \[6 + 2\sqrt 2 < 9.\]
b] \[\sqrt 2 + \sqrt 3 \] và 3
Ta có:
\[\eqalign{
& {\left[ {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right]^2} = 2 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 + 3 \cr
& = 5 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 \cr} \]
\[{3^2} = 9 = 5 + 4 = 5 + 2.2\]
So sánh: \[\sqrt 2 .\sqrt 3 \] và 2
Ta có:
\[\eqalign{
& {\left[ {\sqrt 2 .\sqrt 3 } \right]^2} = {\left[ {\sqrt 2 } \right]^2}.{\left[ {\sqrt 3 } \right]^2} \cr
& = 2.3 = 6 \cr} \]
\[{2^2} = 4\]
Vì 6 > 4 nên \[{\left[ {\sqrt 2 .\sqrt 3 } \right]^2} > {2^2}\]
Suy ra:
\[\eqalign{
& \sqrt 2 .\sqrt 3 > 2 \cr
& \Rightarrow 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 > 2.2 \cr
& \Rightarrow 5 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 > 4 + 5 \cr} \]
\[\eqalign{
& \Rightarrow 5 + 2\sqrt 2 .\sqrt 3 > 9 \cr
& \Rightarrow {\left[ {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right]^2} > {3^2} \cr} \]
Vậy \[\sqrt 2 + \sqrt 3 > 3\]
c] \[9 + 4\sqrt 5 \] và 16
So sánh \[4\sqrt 5 \] và 5
Ta có: \[16 > 5 \Rightarrow \sqrt {16} > \sqrt 5 \Rightarrow 4 > \sqrt 5 \]
Vì \[\sqrt 5 > 0\] nên:
\[\eqalign{
& 4.\sqrt 5 > \sqrt 5 .\sqrt 5 \Rightarrow 4\sqrt 5 > 5 \cr
& \Rightarrow 9 + 4\sqrt 5 > 5 + 9 \cr} \]
Vậy \[9 + 4\sqrt 5 > 16\].
d] \[\sqrt {11} - \sqrt 3 \] và 2
Vì \[\sqrt {11} > \sqrt 3 \] nên \[\sqrt {11} - \sqrt 3 > 0\]
Ta có:
\[\eqalign{
& {\left[ {\sqrt {11} - \sqrt 3 } \right]^2} \cr
& = 11 - 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 + 3 \cr
& = 14 - 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \cr} \]
So sánh 10 và \[2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \] hay so sánh giữa 5 và \[\sqrt {11} .\sqrt 3 \]
Ta có: \[{5^2} = 25\]
\[\eqalign{
& {\left[ {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right]^2} = {\left[ {\sqrt {11} } \right]^2}.{\left[ {\sqrt 3 } \right]^2} \cr
& = 11.3 = 33 \cr} \]
Vì 25 < 33 nên \[{5^2} < {\left[ {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right]^2}\]
Suy ra : \[5 < \sqrt {11} .\sqrt 3 \Rightarrow 10 < 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \]
Suy ra : \[\eqalign{
& 14 - 10 > 14 - 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \cr
& \Rightarrow {\left[ {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right]^2} < {2^2} \cr} \]
Vậy \[\sqrt {11} - \sqrt 3 < 2\]