Bài 38 trang 97 SGK Đại số 10 nâng cao
Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 2p [mét]. Nếu mở rộng miếng đất đó bằng cách tăng một cạnh thêm 3m và cạnh kia thêm 2m thì diện tích miếng đất tăng thêm 246 \[m^2\]. Tính các kích thước của miếng đất đó [biện luận theo p].
Giải
Gọi hai kích thước hình chữ nhật là x và y [x > 0; y > 0]
Ta có hệ phương trình:
\[\left\{ \matrix{
x + y = p \hfill \cr
[x + 3][y + 2] = xy + 246 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + y = p \hfill \cr
2x + 3y = 240 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 3p - 240 \hfill \cr
y = 240 - 2p \hfill \cr} \right.\]
x > 0; y > 0
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3p - 240 > 0 \hfill \cr
240 - 2p > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 80 < p < 120\]
Bài 39 trang 97 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải và biện luận các hệ phương trình
a]
\[\left\{ \matrix{
x + my = 1 \hfill \cr
mx - 3my = 2m + 3 \hfill \cr} \right.\]
b]
\[\left\{ \matrix{
mx + y = 4 - m \hfill \cr
2x + [m - 1]y = m \hfill \cr} \right.\]
Giải
a] Ta có:
\[\eqalign{& D = \,\left|\matrix{
1 & m \cr m & { - 3m} \cr}\right |\, = - 3m - {m^2} = - m[m + 3] \cr & {D_x} = \left|\matrix{1 & m \cr {2m + 3} & { - 3m} \cr} \right|\, = - 3m - m[2m + 3] \cr&\;\;\;\;\;\;= - 2m[m + 3] \cr & {D_y} = \left|\matrix{1 & 1 \cr m & {2m + 3} \cr}\right |\, = \,2m + 3 - m = m + 3 \cr} \]
+Nếu D 0 m 0 và m -3 nên hệ có nghiệm duy nhất là:
\[\left\{ \matrix{
x = {{{D_x}} \over D} = {{ - 2m[m + 3]} \over { - m[m + 3]}} = 2 \hfill \cr
y = {{{D_y}} \over D} = {{m + 3} \over { - m[m + 3]}} = - {1 \over m} \hfill \cr} \right.\]
+ Nếu D = 0
\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = 0 \hfill \cr
m = - 3 \hfill \cr} \right.\]
i] Với m = 0, Dy = 3 0: hệ vô nghiệm
ii] Với m = -3, hệ trở thành:
\[\left\{ \matrix{
x - 3y = 1 \hfill \cr
- 3x + 9y = - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = {{x - 1} \over 3}\]
Hệ có vô số nghiệm \[[x;\,{{x - 1} \over 3}]\]; x R
b] Ta có:
\[\eqalign{
& D = \,\left|\matrix{
m & 1 \cr
2 & {m - 1} \cr}\right |\, = m[m - 1] - 2 \cr&\;\;\;\;= {m^2} - m - 2 = [m + 1][m - 2] \cr & {D_x} = \,\left|\matrix{{4 - m} & 1 \cr m & {m - 1} \cr}\right |\, = [4 - m][m - 1] - m \cr&\;\;\;\;= - {m^2} + 4m - 4 = - {[m - 2]^2} \cr & {D_y} = \,\left|\matrix{m & {4 - m} \cr 2 & m \cr}\right |\, = \,{m^2} - 2[4 - m] \cr&\;\;\;\;= {m^2} + 2m - 8 = [m - 2][m + 4] \cr} \]
+ Nếu D 0 m -1 và m 2 nên hệ có nghiệm duy nhất là:
\[\left\{ \matrix{
x = {{{D_x}} \over D} = {{ - {{[m - 2]}^2}} \over {[m + 1][m - 2]}} = {{ - m + 2} \over {m + 1}} \hfill \cr
y = {{{D_y}} \over D} = {{[m + 4][m - 2]} \over {[m + 1][m - 2]}} = {{m + 4} \over {m + 1}} \hfill \cr} \right.\]
+ Nếu D = 0 m = -1 hoặc m = 2
i] m = -1; Dx 0. Hệ vô nghiệm
ii] m = 2, thế y = 2 2x. Hệ có vô số nghiệm [x; 2 2x]; x R
Bài 40 trang 97 SGK Đại số 10 nâng cao
Với giá trị nào của a thì mỗi hệ phương trình sau có nghiệm?
a]
\[\left\{ \matrix{
[a + 1]x - y = a + 1 \hfill \cr
x + [a - 1]y = 2 \hfill \cr} \right.\]
b]
\[\left\{ \matrix{
[a + 2]x + 3y = 3a + 9 \hfill \cr
x + [a + 4]y = 2 \hfill \cr} \right.\]
Giải
Ta có:
\[\eqalign{
& D = \,\left|\matrix{
{a + 1} & { - 1} \cr
1 & {a - 1} \cr} \right|\, = {a^2} - 1 + 1 = {a^2} \cr & {D_x} = \,\left|\matrix{{a + 1} & { - 1} \cr 2 & {a - 1} \cr} \right|\, = {a^2} - 1 + 2 = {a^2} + 1 \ne 0 \cr} \]
+ Nếu a 0 thì hệ có nghiệm duy nhất
+ Nếu a = 0 thì hệ vô nghiệm [do Dx 0]
Vậy hệ có nghiệm a 0
b] Ta có:
\[\eqalign{
& D = \,\left|\matrix{
{a + 2} & 3 \cr
1 & {a + 4} \cr} \right|\, = [a + 2][a + 4] - 3 \cr&= {a^2} + 6a + 5 = [a + 1][a + 5] \cr & {D_x} = \,\left|\matrix{{3a + 9} & 3 \cr 2 & {a + 4} \cr} \right|\, = [3a + 9][a + 4] - 6 \cr&= 3{a^2} + 21a + 30 = 3[a + 2][a + 5] \cr & {D_y} = \,\left|\matrix{{a + 2} & {3a + 9} \cr 1 & 2 \cr} \right|\, = 2[a + 2] - [3a + 9]\cr& = - a - 5 \cr} \]
+ Nếu a -1 và a -5 thì hệ có nghiệm duy nhất
+ Nếu a = -1 thì Dy = -4 0: hệ vô nghiệm
+ Nếu a =-5 thì hệ thành:
\[\left\{ \matrix{
- 3x + 3y = - 6 \hfill \cr
x - y = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = x - 2\]
Hệ có vô số nghiệm [x, x 2] R
Vậy hệ có nghiệm khi a 1
Bài 41 trang 97 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm tất cả các cặp số nguyên [a, b] sao cho hệ phương trình sau vô nghiệm:
\[\left\{ \matrix{
ax + y = 2 \hfill \cr
6x + by = 4 \hfill \cr} \right.\]
Giải
Ta có:
\[D = \,\left|\matrix{
a & 1 \cr
6 & b \cr} \right|\, = ab - 6\]
Hệ vô nghiệm thì D = 0 ab = 6
Vì a, b Z nên [a, b] là một trong 8 cặp số nguyên là:
[1, 6]; [-1, -6]; [6, 1]; [-6, -1]; [2, 3]; [-2, -3]; [3, 2]; [-3, -2]
Lần lượt thay [a, b] bởi một trong 8 cặp số trên, ta thấy cặp [a, b] = [3, 2] không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy có 7 cặp số thỏa mãn yêu cầu bài toán.