Bài 19 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải phương trình x2+ [4m + 1]x + 2[m - 4] = 0, biết rằng nó có hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ bằng 17.
Giải
Ta có:
Δ = [4m + 1]2 8[ m 4] = 16m2 + 33 > 0; m
Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
x1 + x2 = - 4m 1; x1x2 = 2[m 4] [x1 > x2]
Ta có:
x1 x2 = 17 [x1 x2]2 = 289
[x1 + x2]2 4x1x2 = 289
[4m + 1]2 8[m 4] = 289
16m2 + 33 = 289
m = ± 4
+] Với m = 4 phương trình có 2 nghiệm:
\[\eqalign{
& {x_1} = {{ - 17 - \sqrt {289} } \over 2} = - 17 \cr
& {x_2} = {{ - 17 + \sqrt {289} } \over 2} = 0 \cr} \]
+] Với m = -4 phương trình có 2 nghiệm:
\[\eqalign{
& {x_1} = {{15 - \sqrt {289} } \over 2} = - 1 \cr
& {x_2} = {{15 + \sqrt {289} } \over 2} = 16 \cr} \]
Bài 20 trang 79 SGK Đại số 10 nâng cao
Không giải phương trình, hãy xét xem mỗi phương trình trùng phương sau có bao nhiêu nghiệm
a] x4+ 8x2+ 12 = 0;
b] -1,5x4- 2,6x2+ 1 = 0;
c] \[[1 - \sqrt 2 ]{x^4} + 2{x^2} + 1 - \sqrt 2 = 0\]
d] \[- {x^4} + [\sqrt 3 - \sqrt 2 ]{x^2} = 0\]
Giải
a] x4+ 8x2+ 12 = 0
Ta có: Δ = 4 > 0; S = -8 < 0; P = 12 > 0
Phương trình t2 + 8t + 12 = 0 có hai nghiệm âm nên phương trình trùng phương đã cho vô nghiệm.
b] Ta có: ac < 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm đối nhau.
c] Ta có: Δ = 1 + [1 2] = 0
\[\left\{ \matrix{
S = {2 \over {\sqrt 2 - 1}} > 0 \hfill \cr
P = {{1 - \sqrt 2 } \over {1-\sqrt 2 }} > 0 \hfill \cr} \right.\]
Phương trình đã cho có hai nghiệm đối nhau,
d] Phương trình \[- {t^2} + [\sqrt 3 - \sqrt 2 ]t = 0\]có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương nên phương trình trùng phương có 3 nghiệm
Bài 21 trang 79 SGK Đại số 10 nâng cao
Cho phương trình: kx2- 2[k + l]x + k + 1 = 0.
a] Tìm k để phương trình trên có ít nhất một nghiệm dương.
b] Tìm các giá trị của k để phương trình trên có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1
[Hướng dẫn: đặt x= y + 1].
Giải
a] Với k = 0 ta có: -2x + 1 = 0 \[\Leftrightarrow x = {1 \over 2}\] [nhận]
Với k 0, ta có: Δ = [k + 1]2 k[k + 1] = k + 1
Phương trình có ít nhất một nghiệm dương khi P < 0 hoặc phương trình có hai nghiệm dương hoặc phương trình có một nghiệm bằng 0 và nghiệm kia dương.
+ Trường hợp 1: P < 0 k[k + 1] < 0 -1 < k < 0
+ Trường hợp 2:
\[\left\{ \matrix{
\Delta \ge 0 \hfill \cr
S > 0 \hfill \cr
P > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
k + 1 \ge 0 \hfill \cr
{{2[k + 1]} \over k} > 0 \Leftrightarrow k > 0 \hfill \cr
{{k + 1} \over k} > 0 \hfill \cr} \right.\]
+ Trường hợp 3: x = 0 là nghiệm k = -1
Khi đó, phương trình trở thành x2 = 0 x = 0
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm dương khi k > -1
b] Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn:
\[\eqalign{
&{x_1} < 1 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 0 < {x_2} - 1 \cr
& \Leftrightarrow [{x_1} - 1][{x_2} - 1] < 0 \cr&\Leftrightarrow {x_1}{x_2} - [{x_1} + {x_2}] + 1 < 0 \cr
& \Leftrightarrow {{k + 1} \over k} - {{2[k + 1]} \over k} + 1 < 0\cr& \Leftrightarrow {{k + 1 - 2k - 2 + k} \over k} < 0 \cr
& \Leftrightarrow {{ - 1} \over k} < 0 \Leftrightarrow k > 0 \cr} \]
Ta thấy rằng k > 0 thỏa mãn \[Δ = k + 1 > 0\]
Vậy giá trị k cần tìm là k > 0