Câu 20 trang 23 SGK Hình học 11 Nâng cao
Chứng tỏ rẳng hai hình chữ nhật cùng kích thước [cùng chiều dài và chiều rộng] thì bằng nhau
Giải
Giả sử hai hình chữ nhật ABCD và ABCD có \[AB = CD = AB= CD, AD = BC = AD = BC\].
Khi đó ABC và ABC là hai tam giác vuông bằng nhau, do đó có phép dời hình F biến tam giác ABC thành tam giác ABC
Khi đó phép dời hình F biến trung điểm O của AC thành trung điểm O của AC
Nhưng vì O và O lần lượt cũng là trung điểm của BD và BD nên F cũng biến D thành D
Vậy F biến ABCD thành ABCD, nên theo định nghĩa, hai hình chữ nhật đó bằng nhau
Câu 21 trang 23 SGK Hình học 11 Nâng cao
a. Chứng minh rằng hai tứ giác lồi có cặp cạnh tương ứng bằng nhau và một cặp đường chéo tương ứng bằng nhau thì bằng nhau
b. Chứng minh rằng hai tứ giác lồi có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau và một cặp góc tương ứng bằng nhau thì bằng nhau
c. Hai tứ giác lồi có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì có bằng nhau hay không?
Giải
a.
Giả sử hai tứ giác lồi ABCD và ABCD có \[AB = AB; BC = BC; CD = CD, DA = DA\] và \[AC = AC\]
Khi đó hai tam giác ABC và ABC bằng nhau nên có phép dời hình F biến ba điểm A, B, C lần lượt thành ba điểm A, B, C
Gọi D là điểm đối xứng với điểm D qua đường thẳng AC thì hai tam giác ACD và ACD bằng nhau và theo giả thiết, cùng bằng tam giác ACD
Bởi vậy phép F chỉ có thể biến điểm D thành điểm D hoặc D [do phép dời hình bảo toàn độ dài đoạn thẳng]
Vì ABCD là tứ giác lồi nên hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau, ABCD cũng là tứ giác lồi nên hai đoạn thẳng nên hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau, và do đó hai đoạn thẳng AC và BD không cắt nhau
Từ đó ta suy ra F biến D thành D
Vậy F biến tứ giác ABCD thành tứ giác ABCD và do đó hai tứ giác đó bằng nhau
b. Giả sử hai tứ giác ABCD và ABCD có \[AB = AB, BC = BC, CD = CD, DA = DA\] và góc ABC bằng góc ABC
Khi đó \[AC = AC\] và ta đưa về trường hợp ở câu a]
c. Có thể không bằng nhau
Hai hình thoi có cạnh bằng nhau nhưng có thể là hai hình không bằng nhau [vì phép dời hình biến góc thành góc bằng nó]
Câu 22 trang 23 SGK Hình học 11 Nâng cao
Đa giác lồi n cạnh gọi là n giác đều nếu tất cả các cạnh của nó bằng nhau và tất cả các góc của nó bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cạnh bằng nhau
Giải
Theo định nghĩa, hai n-giác đều bằng nhau thì cạnh bằng nhau.
Ngược lại, giả sử hai n-giác đều A1A2Ancó cạnh bằng nhau
Khi đó nếu gọi O và O lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đó thì hai tam giác OA1A2và OA1A2bằng nhau
Vậy có phép dời hình F biến tam giác OA1A2thành tam giác OA1A2.
Vì hai tam giác OA2A3và OA2A3cũng bằng nhau nên F biến điểm A3thành điểm A3[vì A3không thể biến thành A1]
Lập luận tương tự ta cũng có F biến các điểm A4,, Anlần lượt thành các điểm A4,, An
Như vậy hai đa giác đều đã cho bằng nhau
Câu 24 trang 23 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 23 trang 23 SGK Hình học 11 Nâng cao
Hình H1gồm ba đường tròn \[\left[ {{O_1};{r_1}} \right],\left[ {{O_2};{r_2}} \right]\] và \[\left[ {{O_3};{r_3}} \right]\] đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Hình H2gồm ba đường tròn \[\left[ {{I_1};{r_1}} \right],\left[ {{I_2};{r_2}} \right]\] và \[\left[ {{I_3};{r_3}} \right]\] đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Chứng tỏ rằng hai hình H1và H2bằng nhau = r
Giải
Ta có
\[{{O_1}{O_2} = {r_1} + {\rm{ }}{r_2} = {I_1}{I_2}}\]
\[{{O_2}{O_3} = {r_2} + {\rm{ }}{r_3} = {I_2}{I_3}} \]
\[{{O_3}{O_1} = {r_3} + {\rm{ }}{r_1} = {I_3}{I_1}} \]
Suy ra \[\Delta {O_1}{O_2}{O_3} = \Delta {I_1}{I_2}{I_3}\] nên có phép dời hình F biến ba điểm O1, O2, O3 lần lượt thành ba điểm I1, I2, I3
Hiển nhiên khi đó F biến ba đường tròn \[[{O_{1}}{\rm{; }}{r_1}],{\rm{ }}[{O_2};{\rm{ }}{r_2}],{\rm{ }}[{O_3};{\rm{ }}{r_3}]\]lần lượt thành ba đường tròn \[[{I_1};{r_1}],[{I_2};{r_2}],[{I_3};{r_3}]\], tức là biến hình H1 thành hình H2
Vậy hai hình H1 và H2 bằng nhau
Câu 24 trang 23 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hai hình bình hành. Hãy vẽ một đường thẳng chia mỗi hình bình hành đó thành hai hình bằng nhau
Giải
Một đường thẳng đi qua tâm O của hình bình hành thì chia hình bình hành đó thành hai phần bằng nhau, vì phép đối xứng qua tâm O sẽ biến phần này thành phần kia
Bởi vậy, nếu cho hai hình bình hành, ta chỉ cần vẽ đường thẳng đi qua tâm của chúng thì đường thẳng đó sẽ chia mỗi hình bình hành thành hai phần bằng nhau
Nếu tâm hai hình bình hành trùng nhau thì mọi đường thẳng đi qua tâm đó đều chia mỗi hình bình hành thành hia phần bằng nhau