Bài 31 trang 196 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Rút gọn các biểu thức [không dùng bảng số và máy tính]
a] \[{\sin ^2}[{180^0} - \alpha ] + ta{n^2}[{180^0} - \alpha ]{\tan ^2}[{270^0} - \alpha ] + \sin [{90^0} + \alpha ]cos[\alpha - {360^0}]\]
b] \[{{\cos [\alpha - {{90}^0}]} \over {\sin [{{180}^0} - \alpha ]}} + {{\tan [\alpha - {{180}^0}]c{\rm{os[18}}{{\rm{0}}^0} + \alpha ]\sin [{{270}^0} + \alpha ]} \over {\tan [{{270}^0} + \alpha ]}}\]
c] \[{{\cos [ - {{288}^0}]cot{{72}^0}} \over {tan[ - {{162}^0}]\sin {{108}^0}}} + \tan {18^0}\]
d]\[{{\sin {{20}^0}\sin {\rm{3}}{{\rm{0}}^0}\sin {{40}^0}\sin {{50}^0}\sin {{60}^0}\sin {{70}^0}} \over {cos{{10}^0}{\rm{cos5}}{{\rm{0}}^0}}}\]
Gợi ý làm bài
a]\[{\sin ^2}[{180^0} - \alpha ] + ta{n^2}[{180^0} - \alpha ]{\tan ^2}[{270^0} - \alpha ] + \sin [{90^0} + \alpha ]cos[\alpha - {360^0}]\]
=\[{\sin ^2}\alpha + {\tan ^2}\alpha {\cot ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 2\]
b]\[{{\cos [\alpha - {{90}^0}]} \over {\sin [{{180}^0} - \alpha ]}} + {{\tan [\alpha - {{180}^0}]c{\rm{os[18}}{{\rm{0}}^0} + \alpha ]\sin [{{270}^0} + \alpha ]} \over {\tan [{{270}^0} + \alpha ]}}\]
=\[{{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} + {{\tan \alpha [ - \cos \alpha ][ - \cos \alpha ]} \over { - \cot \alpha }} = 1 - {\sin ^2}\alpha = {\cos ^2}\alpha \]
c]\[{{\cos [ - {{288}^0}]cot{{72}^0}} \over {tan[ - {{162}^0}]\sin {{108}^0}}} + \tan {18^0}\]
\[ = {{\cos [{{72}^0} - {{360}^0}]\cot {{72}^0}} \over {\tan [{{18}^0} - {{180}^0}]\sin [{{180}^0} - {{72}^0}]}} - \tan {18^0}\]
=\[{{{\rm{cos7}}{{\rm{2}}^0}\cot {{72}^0}} \over {\tan {{18}^0}\sin {{72}^0}}} - \tan {18^0}\]
=\[{{{{\cot }^2}{{72}^0}} \over {\tan {{18}^0}}} - \tan {18^0} = {{{{\tan }^2}{{18}^0}} \over {\tan {{18}^0}}} - \tan {18^0} = 0\]
d] Ta có:\[\sin {70^0} = \cos {20^0},\sin {50^0} = cos4{{\rm{0}}^0};\sin {40^0} = cos{50^0}\]. Vì vậy
\[{{\sin {{20}^0}\sin {\rm{3}}{{\rm{0}}^0}\sin {{40}^0}\sin {{50}^0}\sin {{60}^0}\sin {{70}^0}} \over {cos{{10}^0}{\rm{cos5}}{{\rm{0}}^0}}}\]
= \[\eqalign{
& {{{1 \over 2}.{{\sqrt 3 } \over 2}.\sin {{20}^0}\cos {\rm{2}}{{\rm{0}}^0}\cos {{50}^0}\cos {{40}^0}} \over {cos{{10}^0}{\rm{cos5}}{{\rm{0}}^0}}} \cr
& = {{{1 \over 2}.{{\sqrt 3 } \over 4}\sin {{40}^0}.cos{{40}^0}} \over {{\rm{cos1}}{{\rm{0}}^0}}} \cr} \]
= \[{{{{\sqrt 3 } \over {16}}\sin {{80}^0}} \over {cos{{10}^0}}} = {{\sqrt 3 } \over {16}}\]
Bài 32 trang 196 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Cho\[{0^0} < \alpha < {90^0}\].
a]Có giá trị nào của\[\alpha \] sao cho\[\tan \alpha < \sin \alpha \] hay không?
b] Chứng minh rằng\[\sin \alpha + \cos \alpha > 1\]
Gợi ý làm bài
a] Với \[{0^0} < \alpha < {90^0}\] thì \[0 < \cos \alpha < 1\] hay \[{1 \over {\cos \alpha }} > 1\]
Nhân hai vế với \[\sin \alpha > 0\] ta được\[tan\alpha > \sin \alpha \].
Vậy không có giá trị nào của \[\alpha [{0^0} < \alpha < {90^0}]\] để \[tan\alpha < \sin \alpha \]
b] Ta có\[\sin \alpha + \cos \alpha > 0\] và\[\sin \alpha \cos \alpha > 0\]. Do đó
\[\eqalign{
& {[\sin \alpha + \cos \alpha ]^2} = {\sin ^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha + 2\sin \alpha c{\rm{os}}\alpha \cr
& {\rm{ = 1 + 2}}\sin \alpha c{\rm{os}}\alpha > 1 \cr} \]
Từ đó suy ra: \[\sin \alpha + \cos \alpha > 1\]
Bài 33 trang 196 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Tính các giá trị lượng giác của góc \[\alpha \], biết
a]\[\cos \alpha = 2\sin \alpha \] khi \[0 < \alpha < {\pi \over 2}\]
b]\[\cot \alpha = 4\tan \alpha \] khi \[{\pi \over 2} < \alpha < \pi \]
Gợi ý làm bài
a] Với \[0 < \alpha < {\pi \over 2}\] thì \[\cos \alpha > 0,\sin \alpha > 0\]. Ta có
\[1 - {\sin ^2}\alpha = {\cos ^2}\alpha \]
Mặt khác\[{\cos ^2}\alpha = {[2\sin \alpha ]^2} = 4{\sin ^2}\alpha \] nên \[5{\sin ^2}\alpha = 1\] hay
\[\eqalign{
& \sin \alpha = {1 \over {\sqrt 5 }},\cos \alpha = {2 \over {\sqrt 5 }}, \cr
& \tan \alpha = {1 \over 2},\cot \alpha = 2 \cr} \]
b] Với \[{\pi \over 2} < \alpha < \pi \] thì \[\sin \alpha > 0,cos\alpha {\rm{ < 0,tan}}\alpha {\rm{ < 0}}\]
Ta có:\[\cot \alpha = 4\tan \alpha = > {1 \over {\tan \alpha }} = 4\tan \alpha \]
\[ = > {\tan ^2}\alpha = {1 \over 4} = > \tan \alpha = - {1 \over 2},\cot \alpha = - 2\]
\[\cos \alpha = - {1 \over {\sqrt {1 + {1 \over 4}} }} = - {2 \over {\sqrt 5 }},\sin \alpha = {1 \over {\sqrt 5 }}\]
Bài 34 trang 196 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Chứng minh các đẳng thức
a] \[\tan 3\alpha - \tan 2\alpha - \tan \alpha = \tan \alpha \tan 2\alpha \tan 3\alpha \]
b] \[{{4\tan \alpha [1 - {{\tan }^2}\alpha ]} \over {{{[1 + {{\tan }^2}\alpha ]}^2}}} = \sin 4\alpha \]
c] \[{{1 + {{\tan }^4}\alpha } \over {{{\tan }^2}\alpha + {{\cot }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha \]
d] \[{{\cos \alpha \sin [\alpha - 3] - \sin \alpha \cos [\alpha - 3]} \over {\cos [3 - {\pi \over 6}] - {1 \over 2}\sin 3}} = - {{2\tan 3} \over {\sqrt 3 }}\]
Gợi ý làm bài
a] \[\tan 3\alpha - \tan 2\alpha - \tan \alpha = \tan [2\alpha + \alpha ] - \tan [2\alpha + \alpha ]\]
= \[{{\tan 2\alpha + \tan \alpha } \over {1 - \tan 2\alpha \tan \alpha }} - [\tan 2\alpha + tan\alpha ]\]
= \[[\tan 2\alpha + tan\alpha ][{1 \over {1 - \tan 2\alpha \tan \alpha }} - 1]\]
= \[\eqalign{
& {{\tan 2\alpha + \tan \alpha } \over {1 - \tan 2\alpha \tan \alpha }}[1 - 1 + \tan 2\alpha \tan \alpha ] \cr
& = \tan 3\alpha \tan 2\alpha \tan \alpha \cr} \]
b]
\[\eqalign{
& {{4\tan \alpha [1 - {{\tan }^2}\alpha ]} \over {{{[1 + {{\tan }^2}\alpha ]}^2}}} = {{2.2\tan \alpha } \over {1 + {{\tan }^2}\alpha }}.{{1 - {{\tan }^2}\alpha } \over {1 + {{\tan }^2}\alpha }} \cr
& = 2sin2\alpha c{\rm{os2}}\alpha {\rm{ = }}\sin 4\alpha \cr} \]
c]
\[\eqalign{
& {{1 + {{\tan }^4}\alpha } \over {{{\tan }^2}\alpha + {{\cot }^2}\alpha }} = {{1 + {{\tan }^4}\alpha } \over {{{\tan }^2}\alpha + {1 \over {{{\tan }^2}\alpha }}}} \cr
& = {{1 + {{\tan }^4}\alpha } \over {{{{{\tan }^4}\alpha + 1} \over {{{\tan }^2}\alpha }}}} = {\tan ^2}\alpha \cr} \]
d]
\[\eqalign{
& {{\cos \alpha \sin [\alpha - 3] - \sin \alpha \cos [\alpha - 3]} \over {\cos [3 - {\pi \over 6}] - {1 \over 2}\sin 3}} \cr
& = {{\sin [\alpha - 3 - \alpha ]} \over {\cos 3cos{\pi \over 6} + \sin 3\sin {\pi \over 6} - {1 \over 2}\sin 3}} \cr
& = {{ - \sin 3} \over {{{\sqrt 3 } \over 2}\cos 3}} = - {{2\tan 3} \over {\sqrt 3 }} \cr} \]